5. Questão 5

Resolva a equação diferencial: d yd x=y-xy-x-1, usando a substituição v=y-x.
Boa Prova!!!

Passo 1

No primeiro passo, vamos resumir o enunciado: a equação diferencial dada é dydx=y-xy-x-1. O conteúdo é resolução de equações de variáveis separáveis após substituição, e vamos precisar usar a substituição v=y-x.

Passo 2

Com a substituição v=y-x, temos y=v+x. Derivando em relação a x, surge dydx=dvdx+1.

Passo 3

Agora substituímos na equação original:
dvdx+1=vv-1

Passo 4

Isolando dvdx:
dvdx=vv-1-1=v-(v-1)v-1=1v-1

Passo 5

É uma equação de variáveis separáveis. Separamos e integramos:
(v-1),dv=dx
integral(v-1),dv=integral dxLongrightarrowv^22-v=x+C

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original y, lembrando que v=y-x:
(y-x)^22-(y-x)-x=C

Resposta

(y-x)^22-(y-x)-x=C

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