Questão 4 Um sistema de irrigação distribui água por gotejamento, e o volume de água retido pelas plantas depende da frequência \mathbf{x} de aplicação (vezes por semana).
Estudos mostram que o volume de água efetivamente aproveitado pelas plantas pode ser modelado pela funçäio:
V(x)=\frac{30 x}{x+4} (em litros por metro quadrado por semana).
onde:
  • x>0 representa a frequència de irrigação (vezes por semana),
  • V(x) representa o volume médio absorvido pelas plantas.
Determine a frequência x que maximiza o volume de água absorvido, c qual ế esse volume máximo.

Passo 1

O enunciado dá a função de rendimento hídrico
V(x) = \frac{30\,x}{x+4},
onde x>0 é a frequência de irrigação (vezes por semana) e V(x) o volume médio absorvido (L/ m^{2} \cdotsemana). Queremos descobrir para qual x o volume V(x) é máximo e qual é esse valor. Para isso, vamos estudar a monotonicidade de V usando a derivada e também analisar os limites nos extremos do domínio.

Passo 2

Aplicamos a regra do quociente para obter V'(x). Seja
u(x) = 30\,x, \quad v(x) = x+4.
Então
V'(x) = \frac{u'(x)\,v(x) - u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2} = \frac{30\,(x+4) - 30\,x}{(x+4)^2} = \frac{120}{(x+4)^2}.
Como (x+4)^2>0 para todo x>0, concluímos que
V'(x)>0\quad\text{para todo }x>0.
Isto significa que V(x) é estritamente crescente em (0,\infty).

Passo 3

Uma função estritamente crescente em (0,\infty) não tem máximo em ponto interior; seu maior valor (supremo) ocorre na fronteira direita do domínio. Assim, analisamos o limite quando x\to+\infty:
\lim_{x\to+\infty}V(x) = \lim_{x\to+\infty}\frac{30\,x}{x+4} = 30.
No extremo x\to0^+, temos \lim_{x\to0^+}V(x)=0. Portanto, o maior volume possível é 30 L/ m^{2} \cdotsemana, mas ele nunca é alcançado para nenhum x finito—apenas se aproxima quando x cresce sem limite.

Resposta

Não existe um valor finito de x que atinja o máximo de V(x). À medida que x\to+\infty, o volume absorvido V(x) tende a
30\text{ L/m}^2\text{\cdotsemana},
que é o valor máximo (supremo) da função.

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