Questão 4 Um sistema de irrigação distribui água por gotejamento, e o volume de água retido pelas plantas depende da frequência
de aplicação (vezes por semana).
Estudos mostram que o volume de água efetivamente aproveitado pelas plantas pode ser modelado pela funçäio:
(em litros por metro quadrado por semana).
onde:
-
representa a frequència de irrigação (vezes por semana),
-
representa o volume médio absorvido pelas plantas.
Determine a frequência
que maximiza o volume de água absorvido, c qual ế esse volume máximo.
onde:
Passo 1
O enunciado dá a função de rendimento hídrico
onde
é a frequência de irrigação (vezes por semana) e
o volume médio absorvido (L/
semana). Queremos descobrir para qual
o volume
é máximo e qual é esse valor. Para isso, vamos estudar a monotonicidade de
usando a derivada e também analisar os limites nos extremos do domínio.
Passo 2
Aplicamos a regra do quociente para obter
. Seja
Então
Como
para todo
, concluímos que
Isto significa que
é estritamente crescente em
.
Passo 3
Uma função estritamente crescente em
não tem máximo em ponto interior; seu maior valor (supremo) ocorre na fronteira direita do domínio. Assim, analisamos o limite quando
:
No extremo
, temos
. Portanto, o maior volume possível é
L/
semana, mas ele nunca é alcançado para nenhum
finito—apenas se aproxima quando
cresce sem limite.
Resposta
Não existe um valor finito de
que atinja o máximo de
. À medida que
, o volume absorvido
tende a
que é o valor máximo (supremo) da função.