Questão
- Para um escoamento em regime permanente e laminar, determine: a) qual a relação entre a velocidade em um ponto qualquer da seção transversal e a velocidade no centro da seção transversal (será função da perda de carga, do raio e do comprimento da tubulação, do peso específico e da viscosidade do fluido) b) Qual é a equação para o perfil de velocidades?
Passo 1
O enunciado pede para um escoamento laminar e permanente em tubo circular: a relação entre a velocidade em qualquer ponto da seção e a velocidade no centro, expressa em função da perda de carga (Δh_f), do raio R, do comprimento L, do peso específico γ e da viscosidade μ; e também a equação do perfil de velocidades v®.
Passo 2
Começamos das equações de Navier–Stokes para escoamento unidimensional e permanente em coordenadas cilíndricas. A única componente de velocidade é v_x® e a única força de pressão é dp/dx. O balanço de forças no volume diferencial leva a
com o esforço cortante
. Substituindo e integrando duas vezes em r, obtemos
Mas a simetria em r=0 elimina o termo em
, e a condição de não deslizamento na parede
fixa a constante. O resultado é
Passo 3
Em seguida, relacionamos a queda de pressão com a perda de carga hidráulica:
. Substituindo em v®:
O valor máximo (no centro, r=0) é
Passo 4
Da expressão acima é imediato escrever a relação pedida em (a):
ou seja
Isso responde (a) e também dá o perfil de velocidades em (b), já que o perfil é parabólico em r.
Resposta
a) A relação entre v® e a velocidade do centro v_c é
onde
b) A equação do perfil de velocidades é