Questão 7 ( 2 , 5 ) - Para um escoamento em regime permanente e laminar, determine: a) qual a relação entre a velocidade em um ponto qualquer da seção transversal e a velocidade no centro da seção transversal (será função da perda de carga, do raio e do comprimento da tubulação, do peso específico e da viscosidade do fluido) b) Qual é a equação para o perfil de velocidades?

Passo 1

O enunciado pede para um escoamento laminar e permanente em tubo circular: a relação entre a velocidade em qualquer ponto da seção e a velocidade no centro, expressa em função da perda de carga (Δh_f), do raio R, do comprimento L, do peso específico γ e da viscosidade μ; e também a equação do perfil de velocidades v®.

Passo 2

Começamos das equações de Navier–Stokes para escoamento unidimensional e permanente em coordenadas cilíndricas. A única componente de velocidade é v_x® e a única força de pressão é dp/dx. O balanço de forças no volume diferencial leva a
1rddrl(r,taurxr)=dpdx
com o esforço cortante taurx=mu,dv/dr. Substituindo e integrando duas vezes em r, obtemos
v(r)=-14mudpdx(R^2-r^2)+C1ln r + C2
Mas a simetria em r=0 elimina o termo em ln r, e a condição de não deslizamento na parede v(R)=0 fixa a constante. O resultado é
v(r)=-14mudpdx(R^2-r^2) .

Passo 3

Em seguida, relacionamos a queda de pressão com a perda de carga hidráulica: dp/dx=-gamma,De. Substituindo em v®:
v(r)=gamma,De
O valor máximo (no centro, r=0) é
vcequiv v(0)=gamma,De.

Passo 4

Da expressão acima é imediato escrever a relação pedida em (a):
v(r)vc=1-l(tfracrRr)^2
ou seja
v(r)=vcl[1-l(tfracrRr)^2r]
Isso responde (a) e também dá o perfil de velocidades em (b), já que o perfil é parabólico em r.

Resposta

a) A relação entre v® e a velocidade do centro v_c é
v(r)vc=1-l(tfracrRr)^2
onde
vc=gamma,De
b) A equação do perfil de velocidades é
v(r)=gamma,De

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