QUESTÃO 9 - Escolha e calcule um (2 se for dupla; 3 se for trio) dentre os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\left((1+x)^{\frac{1}{3}}-1-\frac{x}{3}+\frac{x^{2}}{9}-\operatorname{sen}(x)+\frac{x^{3}}{6}\right)}{x^{4}}\right]

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 0}\left[\frac{\left((1+x)^{\frac{1}{3}}-1-\frac{x}{3}+\frac{x^{2}}{9}-\operatorname{sen}(x)+\frac{x^{3}}{6}\right)}{x^{4}}\right].
Informações dadas (explicitando cada termo):
  • Há a função (1+x)^{\frac{1}{3}}.
  • Aparecem subtrações de termos polinomiais: 1, \frac{x}{3}, -\frac{x^{2}}{9} (note que no enunciado é +\frac{x^{2}}{9}, aqui apenas listando o termo presente) — vamos usar exatamente como dado: +\frac{x^{2}}{9}.
  • Aparece -\operatorname{sen}(x) (seno de x).
  • Aparece +\frac{x^{3}}{6}.
  • O quociente é dividido por x^{4} e o limite é quando x\to 0.
O que é pedido:
  • Calcular o valor do limite (se existe) da expressão acima quando x\to 0.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar desenvolvimento em série de Taylor (expansões em potências de x) para os termos que aparecem — em particular para (1+x)^{1/3} e para \operatorname{sen}(x). Raciocínio: perto de x=0 é natural aproximar cada função por sua série de potências; isso permite ver quais termos se cancelam e qual é o termo de menor ordem que sobra no numerador. Como estamos dividindo por x^4, precisamos conhecer a expansão do numerador até ordem x^4 (ou até descobrir que sobra um termo de ordem menor, o que determina o comportamento).
Breve lembrete (aula curta sobre Taylor/serie):
  • A série de Taylor de uma função f em torno de 0 escreve f(x)=\sum_{n\ge0} a_n x^n com coeficientes que podem ser obtidos por derivadas. Para funções comuns já conhecemos as expansões padrão (binomial fracionário, seno, etc.).
  • Para a potência fracionária usamos a expansão binomial generalizada:
(1+x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{6}x^3 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)(\alpha-3)}{24}x^4 + o(x^4).
Aqui o(x^4) significa termos que, divididos por x^4, vão a 0 quando x\to 0.
  • Para \operatorname{sen}(x) temos a expansão conhecida:
\operatorname{sen}(x) = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3).
(Observe que não há termos em x^2 nem em x^4 na expansão inicial do seno.)

Passo 3

Expandir (1+x)^{1/3} até ordem x^4. Tomamos \alpha=\tfrac{1}{3} e calculamos coeficientes term a term.
Coeficiente de x:
\alpha = \frac{1}{3}.
Coeficiente de x^2:
\frac{\alpha(\alpha-1)}{2} = \frac{\tfrac{1}{3}\left(\tfrac{1}{3}-1\right)}{2} = \frac{\tfrac{1}{3}\left(-\tfrac{2}{3}\right)}{2} = -\frac{1}{9}.
Coeficiente de x^3:
\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{6} = \frac{\tfrac{1}{3}\left(-\tfrac{2}{3}\right)\left(-\tfrac{5}{3}\right)}{6} = \frac{10}{162}=\frac{5}{81}.
Coeficiente de x^4:
\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)(\alpha-3)}{24} = \frac{\tfrac{1}{3}\left(-\tfrac{2}{3}\right)\left(-\tfrac{5}{3}\right)\left(-\tfrac{8}{3}\right)}{24} = -\frac{80}{1944} = -\frac{10}{243}.
Portanto a expansão é
(1+x)^{\frac{1}{3}} = 1 + \frac{x}{3} - \frac{x^{2}}{9} + \frac{5}{81}x^{3} - \frac{10}{243}x^{4} + o(x^{4}).

Passo 4

Expandir \operatorname{sen}(x) até ordem necessária. Como sabemos,
\operatorname{sen}(x) = x - \frac{x^{3}}{6} + o(x^{3}).
Note que o próximo termo não aparece em x^{4} (o termo seguinte é em x^{5}), então para o nosso propósito (até x^4) temos:
\operatorname{sen}(x) = x - \frac{x^{3}}{6} + o(x^{4}).

Passo 5

Substituir as expansões no numerador e simplificar passo a passo.
Numerador N(x) é
N(x) = (1+x)^{\frac{1}{3}}-1-\frac{x}{3}+\frac{x^{2}}{9}-\operatorname{sen}(x)+\frac{x^{3}}{6}.
Substituindo a expansão de (1+x)^{1/3} e de \operatorname{sen}(x):
\begin{aligned} N(x) &= \Big(1 + \frac{x}{3} - \frac{x^{2}}{9} + \frac{5}{81}x^{3} - \frac{10}{243}x^{4} + o(x^{4})\Big) -1 -\frac{x}{3} + \frac{x^{2}}{9} \\\ &\qquad -\Big(x - \frac{x^{3}}{6} + o(x^{4})\Big) + \frac{x^{3}}{6}. \end{aligned}
Agora fazer cancelamentos imediatos:
  • O 1 e o -1 cancelam.
  • \frac{x}{3} e -\frac{x}{3} cancelam.
  • -\frac{x^{2}}{9} e +\frac{x^{2}}{9} cancelam.
Sobrando:
\begin{aligned} N(x) &= \frac{5}{81}x^{3} - \frac{10}{243}x^{4} + o(x^{4}) - x + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{3}}{6} + o(x^{4}) \\\ &= -x + \left(\frac{5}{81} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6}\right) x^{3} - \frac{10}{243}x^{4} + o(x^{4}). \end{aligned}
Calcular a soma dos coeficientes de x^{3}:
\frac{1}{6}+\frac{1}{6} = \frac{1}{3} = \frac{27}{81},\qquad \frac{5}{81}+\frac{27}{81} = \frac{32}{81}.
Logo
N(x) = -x + \frac{32}{81}x^{3} - \frac{10}{243}x^{4} + o(x^{4}).

Passo 6

Dividir por x^{4} e analisar o comportamento quando x\to 0:
\frac{N(x)}{x^{4}} = \frac{-x + \frac{32}{81}x^{3} - \frac{10}{243}x^{4} + o(x^{4})}{x^{4}} = -\frac{1}{x^{3}} + \frac{32}{81}\cdot\frac{1}{x} - \frac{10}{243} + o(1).
Ao levar x\to 0, o termo dominante é -\dfrac{1}{x^{3}}. Esse termo diverge: não tende a um número finito. Além disso, o sinal depende do lado pelo qual x se aproxima de 0:
  • Se x\to 0^{+} (pela direita), -\dfrac{1}{x^{3}}\to -\infty.
  • Se x\to 0^{-} (pela esquerda), x^{3} é negativo e -\dfrac{1}{x^{3}}\to +\infty.
Portanto os limites laterais são diferentes (um é -\infty e o outro +\infty), então o limite bilateral não existe nem mesmo como infinito único.

Passo 7

Conclusão final: a expressão dividida por x^{4} diverge quando x\to 0. Os limites laterais são opostos e infinitos, logo o limite duas-vidas não existe.

Resposta

Não existe (diverge). Limite pela direita: -\infty. Limite pela esquerda: +\infty.

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