QUESTÃO 9 - Escolha e calcule um (2 se for dupla; 3 se for trio) dentre os seguintes limites: \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\left((1+x)^{\frac{1}{3}}-1-\frac{x}{3}+\frac{x^{2}}{9}-\operatorname{sen}(x)+\frac{x^{3}}{6}\right)}{x^{4}}\right]
Aparecem subtrações de termos polinomiais: 1, \frac{x}{3}, -\frac{x^{2}}{9} (note que no enunciado é +\frac{x^{2}}{9}, aqui apenas listando o termo presente) — vamos usar exatamente como dado: +\frac{x^{2}}{9}.
Aparece -\operatorname{sen}(x) (seno de x).
Aparece +\frac{x^{3}}{6}.
O quociente é dividido por x^{4} e o limite é quando x\to 0.
O que é pedido:
Calcular o valor do limite (se existe) da expressão acima quando x\to 0.
Passo 2
Escolha do método: vamos usar desenvolvimento em série de Taylor (expansões em potências de x) para os termos que aparecem — em particular para (1+x)^{1/3} e para \operatorname{sen}(x). Raciocínio: perto de x=0 é natural aproximar cada função por sua série de potências; isso permite ver quais termos se cancelam e qual é o termo de menor ordem que sobra no numerador. Como estamos dividindo por x^4, precisamos conhecer a expansão do numerador até ordem x^4 (ou até descobrir que sobra um termo de ordem menor, o que determina o comportamento).
Breve lembrete (aula curta sobre Taylor/serie):
A série de Taylor de uma função f em torno de 0 escreve f(x)=\sum_{n\ge0} a_n x^n com coeficientes que podem ser obtidos por derivadas. Para funções comuns já conhecemos as expansões padrão (binomial fracionário, seno, etc.).
Para a potência fracionária usamos a expansão binomial generalizada:
Ao levar x\to 0, o termo dominante é -\dfrac{1}{x^{3}}. Esse termo diverge: não tende a um número finito. Além disso, o sinal depende do lado pelo qual x se aproxima de 0:
Se x\to 0^{+} (pela direita), -\dfrac{1}{x^{3}}\to -\infty.
Se x\to 0^{-} (pela esquerda), x^{3} é negativo e -\dfrac{1}{x^{3}}\to +\infty.
Portanto os limites laterais são diferentes (um é -\infty e o outro +\infty), então o limite bilateral não existe nem mesmo como infinito único.
Passo 7
Conclusão final: a expressão dividida por x^{4} diverge quando x\to 0. Os limites laterais são opostos e infinitos, logo o limite duas-vidas não existe.
Resposta
Não existe (diverge). Limite pela direita: -\infty. Limite pela esquerda: +\infty.