QUESTÃO 9 - Escolha e calcule um (2 se for dupla; 3 se for trio) dentre os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\left(e^{2 x}-1-2 \operatorname{sen}(x)-2 x^{2}\right)}{x^{3}}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0}\left[\frac{e^{2x}-1-2\operatorname{sen}(x)-2x^{2}}{x^{3}}\right].
Informações importantes dadas:
  • A expressão a ser analisada é a função
f(x)=\frac{e^{2x}-1-2\operatorname{sen}(x)-2x^{2}}{x^{3}}.
  • O ponto onde o limite deve ser calculado é x\to 0.
  • Não há outras restrições; supõe-se que as funções envolvidas são as usuais e^{2x} e \operatorname{sen}(x).

Passo 2

Opções naturais de método: (i) usar expansões em série de Taylor/Maclaurin em torno de 0; (ii) aplicar a regra de L’Hôpital repetidas vezes. Vou escolher o método das séries de Taylor porque aqui acontece muita cancelamento das ordens baixas ( x^{0},x^{1},x^{2}), e a expansão torna claro qual é o primeiro termo não nulo na série do numerador — daí o limite é imediato. A regra de L’Hôpital daria o mesmo resultado, mas exigiria derivar três vezes e manipular expressões, sendo mais trabalhoso e menos intuitivo neste caso.
Antes de aplicar, explico a ideia usada: quando uma função g é desenvolvida em série em potências de x perto de 0, por exemplo
g(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+\cdots,
então, se a_0=a_1=\cdots=a_{k-1}=0 e a_k\neq 0, temos
\lim_{x\to 0}\frac{g(x)}{x^k}=a_k.
Aqui vamos identificar o primeiro termo não nulo do numerador e dividir por x^3.

Passo 3

Vou escrever as expansões de Taylor ao redor de 0 para as funções que aparecem, mantendo termos até ordem x^3 (ou até a ordem necessária):
  • Para e^{2x}: usar a série de e^{t}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{t^{n}}{n!} com t=2x. Assim,
e^{2x}=1+(2x)+\frac{(2x)^{2}}{2!}+\frac{(2x)^{3}}{3!}+O(x^{4}).
Calculando os coeficientes:
e^{2x}=1+2x+ \frac{4x^{2}}{2}+\frac{8x^{3}}{6}+O(x^{4})=1+2x+2x^{2}+\frac{4}{3}x^{3}+O(x^{4}).
  • Para \operatorname{sen}(x): usar \operatorname{sen}(x)=x-\dfrac{x^{3}}{3!}+O(x^{5}). Então
\operatorname{sen}(x)=x-\frac{x^{3}}{6}+O(x^{5}).
Multiplicando por 2:
2\operatorname{sen}(x)=2x-\frac{2x^{3}}{6}+O(x^{5})=2x-\frac{x^{3}}{3}+O(x^{5}).
  • O termo 2x^{2} já está na forma polinomial e é de ordem x^{2}.
Observação sobre a notação: O(x^{4}) significa “termos de ordem x^{4} ou superiores”, que ao dividir por x^{3} vão a 0 quando x\to 0.

Passo 4

Substituo as expansões no numerador N(x)=e^{2x}-1-2\operatorname{sen}(x)-2x^{2}:
Usando os resultados do passo anterior,
\begin{aligned} N(x) &= \bigg(1+2x+2x^{2}+\frac{4}{3}x^{3}+O(x^{4})\bigg) -1 -\bigg(2x-\frac{x^{3}}{3}+O(x^{5})\bigg) -2x^{2}. \end{aligned}
Agora agrupo termo a termo:
  • Termos constantes: 1-1=0.
  • Termos em x: 2x-2x=0.
  • Termos em x^{2}: 2x^{2}-2x^{2}=0.
  • Termos em x^{3}: \dfrac{4}{3}x^{3} -\big(-\dfrac{x^{3}}{3}\big) — atenção ao sinal: estamos subtraindo 2\operatorname{sen}(x), e esse tinha termo -\dfrac{x^{3}}{3}, então ao subtrair aparece +\dfrac{x^{3}}{3}. Assim o total em x^{3} é
\frac{4}{3}x^{3}+\frac{1}{3}x^{3}=\frac{5}{3}x^{3}.
Os termos de ordem superior ficam em O(x^{4}). Portanto
N(x)=\frac{5}{3}x^{3}+O(x^{4}).

Passo 5

Agora divido N(x) por x^{3}:
\frac{N(x)}{x^{3}}=\frac{\frac{5}{3}x^{3}+O(x^{4})}{x^{3}}=\frac{5}{3}+O(x).
Quando x\to 0, o O(x) tende a 0. Logo o limite é
\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1-2\operatorname{sen}(x)-2x^{2}}{x^{3}}=\frac{5}{3}.

Passo 6

Breve comentário pedagógico (opcional, para consolidar): a razão pela qual muitos termos se cancelaram é que as expansões de e^{2x} e de 2\operatorname{sen}(x) coincidiram até a ordem x^{2}. Sempre que o numerador de uma fração tende a 0 com ordem maior ou igual a x^{k}, a expansão em séries enseja identificar rapidamente qual é a ordem de anulação e o coeficiente líder, evitando derivadas repetidas. Como checagem alternativa, poderia-se aplicar a regra de L’Hôpital três vezes e obter o mesmo resultado.

Resposta

\dfrac{5}{3}

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