QUESTÃO 9 - Escolha e calcule um (2 se for dupla; 3 se for trio) dentre os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações importantes dadas:
- A expressão a ser analisada é a função
- O ponto onde o limite deve ser calculado é
. - Não há outras restrições; supõe-se que as funções envolvidas são as usuais
e .
Passo 2
Opções naturais de método: (i) usar expansões em série de Taylor/Maclaurin em torno de
; (ii) aplicar a regra de L’Hôpital repetidas vezes. Vou escolher o método das séries de Taylor porque aqui acontece muita cancelamento das ordens baixas (
), e a expansão torna claro qual é o primeiro termo não nulo na série do numerador — daí o limite é imediato. A regra de L’Hôpital daria o mesmo resultado, mas exigiria derivar três vezes e manipular expressões, sendo mais trabalhoso e menos intuitivo neste caso.
Antes de aplicar, explico a ideia usada: quando uma função
é desenvolvida em série em potências de
perto de
, por exemplo
então, se
e
, temos
Aqui vamos identificar o primeiro termo não nulo do numerador e dividir por
.
Passo 3
Vou escrever as expansões de Taylor ao redor de
para as funções que aparecem, mantendo termos até ordem
(ou até a ordem necessária):
- Para
: usar a série de com . Assim,
Calculando os coeficientes:
- Para
: usar . Então
Multiplicando por 2:
- O termo
já está na forma polinomial e é de ordem .
Observação sobre a notação:
significa “termos de ordem
ou superiores”, que ao dividir por
vão a
quando
.
Passo 4
Substituo as expansões no numerador
:
Usando os resultados do passo anterior,
Agora agrupo termo a termo:
- Termos constantes:
. - Termos em
: . - Termos em
: . - Termos em
: — atenção ao sinal: estamos subtraindo , e esse tinha termo , então ao subtrair aparece . Assim o total em é
Os termos de ordem superior ficam em
. Portanto
Passo 5
Agora divido
por
:
Quando
, o
tende a
. Logo o limite é
Passo 6
Breve comentário pedagógico (opcional, para consolidar): a razão pela qual muitos termos se cancelaram é que as expansões de
e de
coincidiram até a ordem
. Sempre que o numerador de uma fração tende a
com ordem maior ou igual a
, a expansão em séries enseja identificar rapidamente qual é a ordem de anulação e o coeficiente líder, evitando derivadas repetidas. Como checagem alternativa, poderia-se aplicar a regra de L’Hôpital três vezes e obter o mesmo resultado.