QUESTÃO 5 - Escolha 2 (4 se for dupla; 6 se for trio) entre as funções apresentadas na questão 1; resolva o limite dessas funções quando x tende ao infinito positivo \left(\lim _{x \rightarrow+\infty} \mathbf{f}(x)\right)

Passo 1

O enunciado pede para escolher 2 (ou mais, dependendo do caso) entre as funções apresentadas na questão 1 e calcular os limites dessas funções quando x \to +\infty, ou seja, \lim_{x\to+\infty} \mathbf{f}(x).
Informações do enunciado que foram dadas aqui:
  • A operação pedida é calcular \lim_{x\to+\infty} \mathbf{f}(x).
  • As funções a escolher deveriam vir da “questão 1”.
Informação que falta e que impede resolver a questão exatamente como pedida:
  • Não foram fornecidas as funções da questão 1. Sem saber quais são as funções específicas, não é possível calcular os limites pedidos para essas funções.
Conclusão do passo: não dá para fornecer os valores exatos solicitados porque as funções da questão 1 não foram enviadas.

Passo 2

Mesmo não tendo as funções específicas, vou te ensinar passo a passo as técnicas mais importantes para calcular limites quando x \to +\infty. Essas técnicas cobrem os tipos de função que normalmente aparecem em provas: polinômios, racionais, exponenciais, logaritmos, raízes, trigonométricas e combinações. Aprendendo isso você consegue resolver qualquer uma das funções que estavam na questão 1 quando receber os enunciados.
Primeira ideia útil (ordem de crescimento): para x\to+\infty vale, em termos de rapidez de crescimento,
\text{constante} \ll \ln x \ll x^a \ll b^x \quad(a>0,\; b>1),
ou seja: logaritmos crescem mais devagar que potências, e exponenciais crescem mais rápido que potências. Isso já dá muitas conclusões rápidas sobre limites.

Passo 3

Polinômios. Se \;P(x)\) é um polinômio e \(P(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0\) com \(a_n\neq0\), então quando \(x\to+\infty\) o comportamento é dominado pelo termo de maior grau: \[\lim_{x\to+\infty} P(x)= \begin{cases} +\infty, &\text{se } a_n>0,\\[4pt] -\infty, &\text{se } a_n<0. \end{cases}
Exemplo passo a passo: calcular \lim_{x\to+\infty}(-2x^3 + x)\]. 1) Identificar o termo dominante: \(-2x^3.
2) Para x\to+\infty, -2x^3 \to -\infty.
3) Logo \displaystyle \lim_{x\to+\infty}(-2x^3 + x)=-\infty.]

Passo 4

Funções racionais (quociente de polinômios). Se \displaystyle R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} com \deg P = m e \deg Q = n, comparar m e n:
  • Se m<n então \displaystyle \lim_{x\to+\infty} R(x)=0.
  • Se m=n então \displaystyle \lim_{x\to+\infty} R(x)=\dfrac{\text{coeficiente líder de }P}{\text{coeficiente líder de }Q}íí.
  • Se m>n então \displaystyle \lim_{x\to+\infty} R(x)=\pm\infty (o sinal depende dos coeficientes líderes).
Técnica prática: dividir numerador e denominador pela maior potência de x presente para simplificar.
Exemplo passo a passo: \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2+5}{2x^2-x+1}.
  1. Ambos têm grau 2. Divida por x^2:
\frac{3 + 5/x^2}{2 - 1/x + 1/x^2}.
  1. Quando x\to+\infty, todos os termos com 1/x tendem a 0. Logo o limite é
\frac{3+0}{2-0+0}=\frac{3}{2}.
  1. Resultado: \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2+5}{2x^2-x+1}=\frac{3}{2}.

Passo 5

Exponenciais e potências: exponenciais dominam potências. Para a>1, \displaystyle \lim_{x\to+\infty} a^{x}=+\infty. Para 0<a<1, \displaystyle \lim_{x\to+\infty} a^{x}=0. Para a base e, \displaystyle e^{ax}\to+\infty se a>0 e \to 0 se a<0.
Consequência importante: para qualquer n>0,
\lim_{x\to+\infty} \frac{x^n}{e^{x}}=0.
Um jeito de provar é usar a regra de L’Hospital repetidas vezes (derivando n vezes) ou usar comparação de séries.
Exemplo passo a passo: \displaystyle \lim_{x\to+\infty} x^5 e^{-x}.
  1. Reescrever como quociente: \displaystyle \frac{x^5}{e^{x}}.
  2. Aplicando L’Hospital várias vezes (ou lembrando que exponencial vence potência), concluímos que o numerador cresce polinomialmente e denominador exponencialmente, então o limite é 0.
  3. Resultado: \displaystyle \lim_{x\to+\infty} x^5 e^{-x}=0.

Passo 6

Logaritmos. \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \ln x = +\infty, mas cresce muito devagar. Em particular, para qualquer \alpha>0,
\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^\alpha}=0.
Exemplo usando L’Hospital: para \alpha=1, \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x} tem forma \infty/\infty, aplicando L’Hospital obtemos \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1/x}{1}=0.

Passo 7

Raízes e expressões com radical. Quando há raízes de polinômios, a ideia é fatorar a maior potência possível e simplificar.
Exemplo passo a passo: \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}.
  1. Colocar x em evidência dentro da raiz: \sqrt{x^2+1}=x\sqrt{1+1/x^2} (para x>0).
  2. Então \displaystyle \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\sqrt{1+1/x^2}.
  3. Quando x\to+\infty, 1/x^2\to 0. Logo o limite é \sqrt{1+0}=1.
  4. Resultado: \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=1.

Passo 8

Funções trigonométricas. \sin x e \cos x oscilam entre -1 e 1, portanto limites como \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\sin x não existem (não há um único valor). Mas se a função trig for multiplicada por algo que tende a zero, pode dar limite 0.
Exemplo passo a passo: \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{\sin x}{x}.
  1. Temos |\sin x/x|\le 1/x.
  2. Como \displaystyle \lim_{x\to+\infty} 1/x=0, por teorema do confronto (squeeze), \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\sin x/x =0.
  3. Resultado: 0.

Passo 9

Regra de L’Hospital (ferramenta prática). Se você tem um limite do tipo indeterminado 0/0 ou \infty/\infty, e as funções do numerador e denominador são diferenciáveis, então
\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}
quando o limite à direita existir (ou for \pm\infty). Use L’Hospital com parcimônia: primeiro tente simplificar por divisão de potências, fatoração, mudança de variável.
Exemplo simples já usado: \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0 por L’Hospital, porque deriva-se \ln x para 1/x e x para 1, então o limite do quociente é 0.

Passo 10

Checklist prático para resolver um limite x\to+\infty na prova (ordem sugerida):
  1. Identifique o tipo de função (polinomial, racional, exponencial, log, raiz, trig).
  2. Se for racional, divida por a maior potência de x.
  3. Se houver raízes, coloque x em evidência dentro da raiz quando x>0.
  4. Compare ordens de grandeza (log ≪ potência ≪ exponencial).
  5. Use a regra de L’Hospital apenas se ficar com forma indeterminada e não conseguir simplificar.
  6. Para termos oscilantes (seno/cosseno), procure teoremas do confronto ou verifique multiplicadores que tendem a zero.
  7. Simplifique e avalie. Sempre verifique sinais dos coeficientes líderes quando o resultado for infinito.

Passo 11

Mais dois exemplos resolvidos passo a passo para você praticar a técnica completa.
Exemplo A: \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{5x^3-2x}{x^2+1}.
  1. Graus: numerador grau 3, denominador grau 2. Como 3>2, o quociente tende a \pm\infty.
  2. Determinar sinal: para x\to+\infty, o termo dominante do quociente é \frac{5x^3}{x^2}=5x que \to +\infty.
  3. Resultado: \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{5x^3-2x}{x^2+1}=+\infty.
Exemplo B: \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}.
  1. Compare ordens: \sqrt{x}=x^{1/2} cresce muito mais rápido que \ln x.
  2. Aplicar L’Hospital (forma \infty/\infty): derivadas são \frac{1/x}{(1/2)x^{-1/2}}=\frac{1/x}{1/(2\sqrt{x})}=\frac{2}{\sqrt{x}}.
  3. Agora \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{2}{\sqrt{x}}=0.
  4. Portanto \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}=0.

Passo 12

Resumo encorajando: quando você tiver as funções específicas da questão 1, faça isto:
  • identifica o tipo (racional, exponencial, etc.);
  • simplifica usando divisão por potências ou fatoração;
  • aplica L’Hospital se necessário;
  • usa teorema do confronto para funções oscilantes;
  • interpreta o resultado com o checklist.
Se quiser, quando tiver as funções da questão 1 eu já resolvo passo a passo cada uma delas aplicando exatamente essas técnicas — mas como elas não foram enviadas, o melhor que eu posso fazer agora é te deixar com esse manual passo a passo que funciona para qualquer limite do tipo x\to+\infty.

Resposta

Não é possível calcular os limites pedidos porque as funções da questão 1 não foram fornecidas.

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