QUESTÃO 5 - Escolha 2 (4 se for dupla; 6 se for trio) entre as funções apresentadas na questão 1; resolva o limite dessas funções quando
tende ao infinito positivo
Passo 1
O enunciado pede para escolher 2 (ou mais, dependendo do caso) entre as funções apresentadas na questão 1 e calcular os limites dessas funções quando
, ou seja,
.
Informações do enunciado que foram dadas aqui:
- A operação pedida é calcular
. - As funções a escolher deveriam vir da “questão 1”.
Informação que falta e que impede resolver a questão exatamente como pedida:
- Não foram fornecidas as funções da questão 1. Sem saber quais são as funções específicas, não é possível calcular os limites pedidos para essas funções.
Conclusão do passo: não dá para fornecer os valores exatos solicitados porque as funções da questão 1 não foram enviadas.
Passo 2
Mesmo não tendo as funções específicas, vou te ensinar passo a passo as técnicas mais importantes para calcular limites quando
. Essas técnicas cobrem os tipos de função que normalmente aparecem em provas: polinômios, racionais, exponenciais, logaritmos, raízes, trigonométricas e combinações. Aprendendo isso você consegue resolver qualquer uma das funções que estavam na questão 1 quando receber os enunciados.
Primeira ideia útil (ordem de crescimento): para
vale, em termos de rapidez de crescimento,
ou seja: logaritmos crescem mais devagar que potências, e exponenciais crescem mais rápido que potências. Isso já dá muitas conclusões rápidas sobre limites.
Passo 3
Polinômios. Se
Exemplo passo a passo: calcular
.
2) Para ,
.
3) Logo .]
2) Para
3) Logo
Passo 4
Funções racionais (quociente de polinômios). Se
com
e
, comparar
e
:
- Se
então . - Se
então . - Se
então (o sinal depende dos coeficientes líderes).
Técnica prática: dividir numerador e denominador pela maior potência de
presente para simplificar.
Exemplo passo a passo:
.
- Ambos têm grau
. Divida por :
- Quando
, todos os termos com tendem a . Logo o limite é
- Resultado:
.
Passo 5
Exponenciais e potências: exponenciais dominam potências. Para
,
. Para
,
. Para a base
,
se
e
se
.
Consequência importante: para qualquer
,
Um jeito de provar é usar a regra de L’Hospital repetidas vezes (derivando
vezes) ou usar comparação de séries.
Exemplo passo a passo:
.
- Reescrever como quociente:
. - Aplicando L’Hospital várias vezes (ou lembrando que exponencial vence potência), concluímos que o numerador cresce polinomialmente e denominador exponencialmente, então o limite é
. - Resultado:
.
Passo 6
Logaritmos.
, mas cresce muito devagar. Em particular, para qualquer
,
Exemplo usando L’Hospital: para
,
tem forma
, aplicando L’Hospital obtemos
.
Passo 7
Raízes e expressões com radical. Quando há raízes de polinômios, a ideia é fatorar a maior potência possível e simplificar.
Exemplo passo a passo: .
Exemplo passo a passo:
- Colocar
em evidência dentro da raiz: (para ). - Então
. - Quando
, . Logo o limite é . - Resultado:
.
Passo 8
Funções trigonométricas.
e
oscilam entre
e
, portanto limites como
não existem (não há um único valor). Mas se a função trig for multiplicada por algo que tende a zero, pode dar limite
.
Exemplo passo a passo:
.
- Temos
. - Como
, por teorema do confronto (squeeze), . - Resultado:
.
Passo 9
Regra de L’Hospital (ferramenta prática). Se você tem um limite do tipo indeterminado
ou
, e as funções do numerador e denominador são diferenciáveis, então
quando o limite à direita existir (ou for
). Use L’Hospital com parcimônia: primeiro tente simplificar por divisão de potências, fatoração, mudança de variável.
Exemplo simples já usado:
por L’Hospital, porque deriva-se
para
e
para
, então o limite do quociente é
.
Passo 10
Checklist prático para resolver um limite
na prova (ordem sugerida):
- Identifique o tipo de função (polinomial, racional, exponencial, log, raiz, trig).
- Se for racional, divida por a maior potência de
. - Se houver raízes, coloque
em evidência dentro da raiz quando . - Compare ordens de grandeza (log ≪ potência ≪ exponencial).
- Use a regra de L’Hospital apenas se ficar com forma indeterminada e não conseguir simplificar.
- Para termos oscilantes (seno/cosseno), procure teoremas do confronto ou verifique multiplicadores que tendem a zero.
- Simplifique e avalie. Sempre verifique sinais dos coeficientes líderes quando o resultado for infinito.
Passo 11
Mais dois exemplos resolvidos passo a passo para você praticar a técnica completa.
Exemplo A:
.
- Graus: numerador grau
, denominador grau . Como , o quociente tende a . - Determinar sinal: para
, o termo dominante do quociente é que . - Resultado:
.
Exemplo B:
.
- Compare ordens:
cresce muito mais rápido que . - Aplicar L’Hospital (forma
): derivadas são . - Agora
. - Portanto
.
Passo 12
Resumo encorajando: quando você tiver as funções específicas da questão 1, faça isto:
- identifica o tipo (racional, exponencial, etc.);
- simplifica usando divisão por potências ou fatoração;
- aplica L’Hospital se necessário;
- usa teorema do confronto para funções oscilantes;
- interpreta o resultado com o checklist.
Se quiser, quando tiver as funções da questão 1 eu já resolvo passo a passo cada uma delas aplicando exatamente essas técnicas — mas como elas não foram enviadas, o melhor que eu posso fazer agora é te deixar com esse manual passo a passo que funciona para qualquer limite do tipo
.
Resposta
Não é possível calcular os limites pedidos porque as funções da questão 1 não foram fornecidas.