QUESTÃO 4 - Escolha 1 ( 2 se for dupla; 3 se for trio) dentre as funções abaixo e calcule \mathbf{f}(\mathbf{a}), onde “a” em f(a) é a constante sorteada. \mathbf{f}(\mathbf{x})=\arctan \{\operatorname{sen}[\cos (\operatorname{senh}\{\operatorname{cosh} [\cot (x)]\}\})]\}
Passo 1
O enunciado pede para calcular \mathbf{f}(\mathbf{a}), onde foi dada a função
A função é uma composição de várias funções elementares (cotangente, cosseno hiperbólico, seno hiperbólico, cosseno, seno e arctangente).
O valor a ser avaliado é a, uma constante “sorteada” — o enunciado não fornece o valor numérico de a.
Não há figura nem tabela associada; apenas a expressão simbólica.
Observação importante (sem resolver ainda): como o valor numérico de a não foi informado, não é possível dar um número final. Posso, porém, (i) interpretar univocamente a expressão, (ii) ensinar passo a passo como calcular f(a) para qualquer a que for fornecido, (iii) apresentar a forma simbólica final e discutir domínio e casos especiais.
Passo 2
Escolher a interpretação correta da notação e reescrever a função de forma clara. Vou assumir a interpretação padrão (parênteses aninhados na ordem mostrada). Assim a função, com notação TeX canônica, é
Breve “aula” sobre cada função usada (o que é e como calcular, em termos elementares), com fórmulas úteis e intervalos/observações — tudo de forma prática para usar na hora da prova.
Cotangente: \cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}.
Domínio: todos os x com \sin x \neq 0. Se \sin x=0 (ou seja x=k\pi, k\in\mathbb{Z}) então \cot x não está definida.
É uma razão entre funções trigonométricas usuais; pode ser calculada exatamente para ângulos notáveis (\pi/6,\pi/4,\pi/3, etc).
Cosseno hiperbólico: \operatorname{cosh} y = \dfrac{e^{y}+e^{-y}}{2}.
Domínio: todos os reais y.
\operatorname{cosh} y \ge 1 para todo y. É uma função par: \operatorname{cosh}(-y)=\operatorname{cosh} y.
Seno hiperbólico: \operatorname{sinh} y = \dfrac{e^{y}-e^{-y}}{2}.
Domínio: todos os reais y.
\operatorname{sinh} é ímpar: \operatorname{sinh}(-y)=-\operatorname{sinh} y. Valores exatos só em casos especiais; em geral fica expresso em termos de exponenciais.
Cosseno e seno usuais: \cos z e \sin z.
Domínio: todos os reais z. Valores exatos conhecidos para ângulos notáveis. \cos produz resultado em [-1,1].
Arctangente: \arctan t é função inversa da tangente restrita; seu valor é um número em (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}).
Para qualquer t\in\mathbb{R}, \arctan t existe e é finito.
Observação sobre a composição: depois de \operatorname{cosh}(\cot x) vem um número real (e \operatorname{cosh} é \ge1), em seguida \operatorname{sinh} aplicada a esse número também é um real (possivelmente grande), depois \cos da \operatorname{sinh} dá um valor em [-1,1], \sin de algo em [-1,1] também fica em [- \sin 1,\sin 1]\subset[-1,1], e finalmente \arctan de algo em [-1,1] fica em um intervalo contido em (-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}). Isso mostra que o resultado sempre existe desde que \cot a exista.
Passo 4
Procedimento passo a passo (algo que você pode aplicar na prova assim que tiver o valor de a). Para cada etapa indico a fórmula exata e o que checar:
Calcular
t_1=\cot a=\frac{\cos a}{\sin a}.
Checar que \sin a\neq 0. Se \sin a=0 então f(a) não está definido (porque \cot a não existe).
Geralmente um número real. Se t_2 for uma constante simples, pode haver forma fechada; senão mantenha expressão em exponenciais.
Calcular
t_4=\cos(t_3).
Como \cos recebe um real, t_4\in[-1,1]. Se t_3 for múltiplo conhecido de \pi ou outro ângulo notável, use identidades; caso contrário mantenha o número (ou aproximação).
Calcular
t_5=\sin(t_4).
Aqui t_4\in[-1,1], então t_5 fica em [-\sin 1,\sin 1]. Novamente, use valores exatos se possível.
Este é o valor final; está garantido existir (finito) sempre que \cot a existir.
Dicas práticas para a prova:
Primeiro verifique se \sin a=0. Se sim, diga que f(a) não está definido.
Se a for um ângulo notável (0,\pm\frac{\pi}{6},\pm\frac{\pi}{4},\pm\frac{\pi}{3},\ldots), calcule \cot a exatamente e siga substituindo mantendo expressões em termos de e quando aparecerem \operatorname{cosh} e \operatorname{sinh}. Não há atalho geral que evite exponenciais para \operatorname{cosh} e \operatorname{sinh}.
Se a questão exigir aproximação numérica, depois de obter as expressões exponenciais você pode usar aproximações de e (ou calculadora, se permitida) — mas a sequência de substituição é sempre essa.
Passo 5
Vou ilustrar com um exemplo concreto (para fixar a técnica). Tome a=\tfrac{\pi}{4} (um valor comum onde \cot é simples).
Neste exemplo todos os passos são explícitos; os únicos “números” não-elementares que surgem são as exponenciais e^{\pm 1} e e^{\pm \operatorname{cosh}(1)}. Se o enunciado pedir uma forma exata, essa forma acima é a forma exata; se pedir aproximação, aí sim é preciso calcular numericamente.
Passo 6
Casos especiais e domínio resumidos:
Se \sin a=0 (a=k\pi), então \cot a não existe e, portanto, f(a) não está definida.
Para qualquer a com \sin a\neq 0, a composição inteira está definida e produz um valor real finito em \big(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big). Não há outras singularidades porque \operatorname{cosh}, \operatorname{sinh}, \cos, \sin, \arctan estão definidas para todos os reais (além da restrição inicial).
Resposta
Não é possível calcular um valor numérico porque a não foi informado. Em forma simbólica:
f(a)=\arctan\!\big(\sin(\cos(\operatorname{sinh}(\operatorname{cosh}(\cot a))))\big),\quad\text{definida desde que }\sin a\neq 0.