QUESTÃO 9 - Escolha e calcule um (2 se for dupla; 3 se for trio) dentre os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas (tudo que o exercício fornece):
- A função no numerador é
. - O ponto onde o limite é pedido é
. - Não há outras condições nem imagens.
Passo 2
Escolha do método: vou usar as séries de Taylor (Maclaurin) das funções
e
em torno de
. Motivo: essas séries nos dão a expansão em potências de
e permitem identificar o termo de menor ordem do numerador de forma direta — isso é exatamente o que importa quando dividimos por
. Métodos alternativos (por exemplo, aplicar sucessivas regras de L’Hôpital) seriam muito mais trabalhosos aqui. Então usamos séries porque são mais diretas e seguras.
Passo 3
Lembrete e fórmulas que vamos usar (tudo em torno de
, com
pequeno):
- A série de
(Maclaurin) é
Aqui cada termo
significa "potência
dividida por
".
- A série de
(para ) é
Cada termo é
.
Também usarei a notação
para indicar termos de ordem maior ou igual a
quando
.
Passo 4
Agora substituo as expansões no numerador e faço ordem por ordem (trunco em ordens até
ou
quando necessário).
Primeiro, a expansão de
é, usando a série acima,
A expansão de
é
Portanto o numerador completo é
Agora simplifico os coeficientes das potências:
e
Assim o numerador pode ser escrito como
Observação importante (passo intuitivo): o menor termo não nulo aqui é de ordem
(o termo
). Apesar de termos subtraído
explicitamente no enunciado, a presença de
traz outro
que não foi cancelado; por isso o numerador tem ordem
, não ordem
.]
Passo 5
Agora divido por
para ver o comportamento do quociente:
Quando
as parcelas
e
dominam. Em particular a parcela
tende a
tanto por
quanto por
(porque
é positivo e o sinal é negativo). Portanto o quociente não se aproxima de um número finito: diverge para
.
Passo 6
Interpretação final e checagem de consistência:
- Como o termo dominante do numerador é
(ordem ), ao dividir por obtemos um comportamento como quando . Isso implica divergência para . - A conclusão vale para limite bilateral (não apenas lateral) porque o termo dominante
é negativo e simétrico no sinal de (vai para por ambos os lados).