QUESTÃO 9 - Escolha e calcule um (2 se for dupla; 3 se for trio) dentre os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\left(\ln (1+x)-\operatorname{sen}(x)+\frac{x^{2}}{2}\right)}{x^{3}}\right]

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite quando x tende a zero:
\lim_{x\rightarrow 0}\left[\frac{\left(\ln(1+x)-\operatorname{sen}(x)+\dfrac{x^{2}}{2}\right)}{x^{3}}\right].
Informações dadas e o que precisamos calcular:
  • A expressão no numerador contém \ln(1+x), \operatorname{sen}(x) e \dfrac{x^{2}}{2}.
  • Queremos o limite quando x\to 0 da razão entre esse numerador e x^{3}.
  • Precisamos descobrir o comportamento das funções envolvidas até termos termos da ordem x^{3} no numerador para poder dividir por x^{3}.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicação didática): é mais direto usar expansões em série (Maclaurin/Taylor em torno de 0) para \ln(1+x) e \operatorname{sen}(x) até a ordem x^{3}. Vou explicar como obter essas expansões de forma simples usando derivadas no ponto 0.
Regra para série de Taylor (Maclaurin) curta: se uma função f é suficientemente differentiável em 0, sua expansão até a ordem n é dada por
f(x)=f(0)+f'(0)\,x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^{3}+\text{o}(x^{3}),
onde \text{o}(x^{3}) representa termos que, divididos por x^{3}, tendem a 0 quando x\to0.
Agora calculo as derivadas e coeficientes até a terceira ordem para cada função.
Para f(x)=\ln(1+x):
  • f(0)=\ln 1=0.
  • f'(x)=\dfrac{1}{1+x} então f'(0)=1.
  • f''(x)=-\dfrac{1}{(1+x)^{2}} então f''(0)=-1.
  • f^{(3)}(x)=\dfrac{2}{(1+x)^{3}} então f^{(3)}(0)=2.
Usando a fórmula:
\ln(1+x)=0 + 1\cdot x + \frac{-1}{2!}x^{2} + \frac{2}{3!}x^{3} + \text{o}(x^{3}).
Simplificando os coeficientes:
\ln(1+x)=x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + \text{o}(x^{3}).
Para g(x)=\operatorname{sen}(x) (sinus):
  • g(0)=0.
  • g'(x)=\cos x então g'(0)=1.
  • g''(x)=-\sin x então g''(0)=0.
  • g^{(3)}(x)=-\cos x então g^{(3)}(0)=-1.
Logo:
\operatorname{sen}(x)=0 + 1\cdot x + 0\cdot x^{2} + \frac{-1}{3!}x^{3} + \text{o}(x^{3}),
ou seja
\operatorname{sen}(x)=x - \frac{x^{3}}{6} + \text{o}(x^{3}).
Observação sobre \text{o}(x^{3}): qualquer termo escrito como \text{o}(x^{3}) significa que, ao dividir por x^{3}, esse termo tende a 0 quando x\to0. Portanto esses termos serão irrelevantes para o limite final.

Passo 3

Substituir as expansões no numerador e simplificar passo a passo.
Começando, escrevo o numerador usando as expansões:
\ln(1+x)-\operatorname{sen}(x)+\frac{x^{2}}{2} = \left(x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + \text{o}(x^{3})\right) - \left(x - \frac{x^{3}}{6} + \text{o}(x^{3})\right) + \frac{x^{2}}{2}.
Agora faço a subtração e soma termo a termo. Agrupo termos de mesma potência de x:
  • Termo em x: x - x = 0.
  • Termo em x^{2}: -\dfrac{x^{2}}{2} + \dfrac{x^{2}}{2} = 0.
  • Termo em x^{3}: \dfrac{x^{3}}{3} - \left(-\dfrac{x^{3}}{6}\right) = \dfrac{x^{3}}{3} + \dfrac{x^{3}}{6}.
Calculo os coeficientes de x^{3}:
\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}.
Portanto o numerador fica
\ln(1+x)-\operatorname{sen}(x)+\frac{x^{2}}{2} = \frac{1}{2}x^{3} + \text{o}(x^{3}).

Passo 4

Divido pela x^{3} e obtenho a expressão dentro do limite:
\frac{\ln(1+x)-\operatorname{sen}(x)+\dfrac{x^{2}}{2}}{x^{3}} = \frac{1}{2} + \frac{\text{o}(x^{3})}{x^{3}}.
Pelo significado de \text{o}(x^{3}), a razão \dfrac{\text{o}(x^{3})}{x^{3}} tende a 0 quando x\to0. Assim o limite da expressão é o coeficiente constante que sobrou:
\lim_{x\to0}\left[\frac{\ln(1+x)-\operatorname{sen}(x)+\dfrac{x^{2}}{2}}{x^{3}}\right]=\frac{1}{2}.

Passo 5

Comentário rápido e incentivo: outra via seria aplicar a regra de L’Hôpital repetidas vezes (três vezes) para obter o mesmo resultado, mas a expansão em séries é mais direta aqui. Boa! Esse tipo de exercício costuma pedir exatamente reconhecer e cancelar termos até aparecer o primeiro termo não nulo de ordem x^{3}. Confia que você já entendeu o procedimento: expandir, cancelar termos de ordens menores e ler o coeficiente que sobra.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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