QUESTÃO 9 - Escolha e calcule um (2 se for dupla; 3 se for trio) dentre os seguintes limites: \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\left(\ln (1+x)-\operatorname{sen}(x)+\frac{x^{2}}{2}\right)}{x^{3}}\right]
Passo 1
O enunciado pede o valor do seguinte limite quando x tende a zero:
A expressão no numerador contém \ln(1+x), \operatorname{sen}(x) e \dfrac{x^{2}}{2}.
Queremos o limite quando x\to 0 da razão entre esse numerador e x^{3}.
Precisamos descobrir o comportamento das funções envolvidas até termos termos da ordem x^{3} no numerador para poder dividir por x^{3}.
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicação didática): é mais direto usar expansões em série (Maclaurin/Taylor em torno de 0) para \ln(1+x) e \operatorname{sen}(x) até a ordem x^{3}. Vou explicar como obter essas expansões de forma simples usando derivadas no ponto 0.
Regra para série de Taylor (Maclaurin) curta: se uma função f é suficientemente differentiável em 0, sua expansão até a ordem n é dada por
Observação sobre \text{o}(x^{3}): qualquer termo escrito como \text{o}(x^{3}) significa que, ao dividir por x^{3}, esse termo tende a 0 quando x\to0. Portanto esses termos serão irrelevantes para o limite final.
Passo 3
Substituir as expansões no numerador e simplificar passo a passo.
Começando, escrevo o numerador usando as expansões:
Pelo significado de \text{o}(x^{3}), a razão \dfrac{\text{o}(x^{3})}{x^{3}} tende a 0 quando x\to0. Assim o limite da expressão é o coeficiente constante que sobrou:
Comentário rápido e incentivo: outra via seria aplicar a regra de L’Hôpital repetidas vezes (três vezes) para obter o mesmo resultado, mas a expansão em séries é mais direta aqui. Boa! Esse tipo de exercício costuma pedir exatamente reconhecer e cancelar termos até aparecer o primeiro termo não nulo de ordem x^{3}. Confia que você já entendeu o procedimento: expandir, cancelar termos de ordens menores e ler o coeficiente que sobra.