QUESTÃO 1 - Escolha e determine o domínio de 3 (faça 6 se for de dupla; 9 se for de trio) das seguintes funções reais:
f(z)=1 / \ln \left[\left(b{2}-z{2}\right)^{\sqrt{d * z}}\right]
f(z)=1 / \ln \left[\left(b{2}-z{2}\right)^{\sqrt{d * z}}\right]
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos dado. Escolher 3 casos e, para cada um, determinar o domínio da função real
onde
e
são parâmetros reais (constantes) e
é a variável real. Vou escolher três casos representativos para
(mantendo
para evitar redundâncias óbvias):
- Caso 1:
(e ). - Caso 2:
(e ). - Caso 3:
(e ).
O enunciado exige que a função seja real e bem definida; portanto preciso listar as informações relevantes (condições que devem valer para
):
- A raiz quadrada
aparece no expoente; para ela ser real é necessário . - Para a potência
ser um número real bem definido quando o expoente é real, é necessário que a base seja positiva: . - O argumento do logaritmo deve ser positivo: já garantido pela base positiva e expoente real, mas preciso também garantir que o logaritmo não seja zero no denominador, ou seja, que
. - A igualdade
ocorre quando o argumento do log é . Logo devo excluir valores de tais que .
A partir dessas informações vou derivar, passo a passo, o domínio em cada caso escolhido.
Passo 2
Relembrando / explicando as condições matemáticas que uso (aulas rápidas e concretas):
- Sobre a raiz:
(raiz principal) é real somente para . Aqui , logo exijo Isso significa: se então ; se então ; se então para todo . - Sobre potenciação com expoente real: a expressão
com e só é bem definida (como número real) de forma contínua para todo quando . Se surgem problemas (não usaremos casos com base negativa e expoente real não inteiro). Portanto exijo Observação: se então para todo , logo não há domínio possível; por isso considerei . - Sobre o logaritmo natural:
está definido apenas para . Além disso, como a função tem , não posso ter . Assim devo excluir os que satisfaçam Para e vale: acontece exatamente em dois tipos de situação: -
(qualquer com expoente zero dá ); - ou
(qualquer expoente real dá ).
Conclusão: devo excluir conjuntos onde(ou seja, ) e também excluir onde .
-
Com essas regras, vou analisar cada caso escolhido.
Passo 3
Caso 1:
(e
). Aplicando as condições listadas:
- Da raiz:
implica . - Da base positiva:
. Combinando com obtemos - Agora excluímos pontos onde a função não está definida por ter denominador zero:
- Excluir
tais que . Como , isso equivale a . Logo deve ser retirado porque então o expoente é zero e . - Excluir
tais que . Resolver dá quando (isto é, ). No intervalo só o valor positivo cai ali; portanto, se é preciso excluir . Se então e não existe solução real para , logo nada a excluir por esse motivo.
- Excluir
- Conclusão do Caso 1: para
e , Em palavras: todos os estritamente entre e , com a remoção extra do ponto quando . (Removi porque dá expoente zero.)
Passo 4
Vou escrever a conclusão do Caso 1 de forma matematicamente clara (sem ambiguidade). Para
e
:
- Se
, então não existe em e o domínio é - Se
, então o domínio é
Explicitação: o ponto
é excluído porque faz o expoente zero; o ponto
é excluído quando existe porque faz a base igual a
, o que torna o argumento do log igual a
e o denominador igual a zero.
Passo 5
Caso 2:
(e
). As condições:
- Da raiz:
implica . - Da base positiva:
i.e. . - Combinando:
. Mas dá expoente zero (porque ), e assim resulta no denominador; logo deve ser excluído. Assim a faixa inicial válida é . - Agora excluir pontos onde
. As soluções são se . Na faixa o possível problema é (valor negativo). Logo quando deve-se retirar também . Se não há solução real para e nada mais a remover. - Conclusão do Caso 2: para
e , Em palavras: todos os estritamente entre e , excluindo o ponto negativo que torna a base igual a quando .
Passo 6
Expressando o Caso 2 com distinções em
:
- Se
, domínio é . - Se
, domínio é .
Passo 7
Caso 3:
(e
). Aqui a situação é especial:
- A raiz
está definida (não depende de ), porque para todo . - Logo o expoente é sempre
, então sempre que a potência faça sentido (isto é, sempre que a base seja diferente de zero). Se a base for zero (isto é, se ) temos a indeterminação , que não é permitida. - Em qualquer caso em que a potência possa ser avaliada (exceto talvez
onde é ), o resultado é , e . Como o denominador é , a função fica com denominação zero para todo onde a potência for definida; nos pontos a potência é indefinida ( ), logo também não permitem inclusão no domínio. - Conclusão do Caso 3: não existe
que faça bem definida; o domínio é o conjunto vazio:
Passo 8
Resumo didático rápido (para gravar na prova): as restrições essenciais que sempre verifico são, na ordem:
-
real . - Base positiva
(ou seja, ). - Excluir pontos onde o expoente é zero (pois então potência
e ). Ou seja, excluir soluções de . - Excluir pontos onde a base é
, i.e. , porque isso também produz argumento do log igual a . - Se
tudo vira exposição zero e a função não existe em nenhum .
Com isso, os três casos já estão calculados e prontos para consulta rápida.
Resposta
Caso 1 (
):
se
, e
se
.
Caso 2 (
):
se
, e
se
.
Caso 3 (
):
.