QUESTÃO 1 - Escolha e determine o domínio de 3 (faça 6 se for de dupla; 9 se for de trio) das seguintes funções reais:
f(z)=1 / \ln \left[\left(b{2}-z{2}\right)^{\sqrt{d * z}}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos dado. Escolher 3 casos e, para cada um, determinar o domínio da função real
f(z)=\frac{1}{\ln\!\left[\left(b^{2}-z^{2}\right)^{\sqrt{d\,z}}\right]},
onde b e d são parâmetros reais (constantes) e z é a variável real. Vou escolher três casos representativos para d (mantendo b>0 para evitar redundâncias óbvias):
  • Caso 1: d>0 (e b>0).
  • Caso 2: d<0 (e b>0).
  • Caso 3: d=0 (e b>0).
O enunciado exige que a função seja real e bem definida; portanto preciso listar as informações relevantes (condições que devem valer para z):
  • A raiz quadrada \sqrt{d\,z} aparece no expoente; para ela ser real é necessário d\,z\ge 0.
  • Para a potência \left(b^{2}-z^{2}\right)^{\sqrt{d\,z}} ser um número real bem definido quando o expoente é real, é necessário que a base seja positiva: \,b^{2}-z^{2}>0.
  • O argumento do logaritmo deve ser positivo: já garantido pela base positiva e expoente real, mas preciso também garantir que o logaritmo não seja zero no denominador, ou seja, que
    \ln\!\left[\left(b^{2}-z^{2}\right)^{\sqrt{d\,z}}\right]\neq 0.
  • A igualdade \ln(\cdot)=0 ocorre quando o argumento do log é 1. Logo devo excluir valores de z tais que \left(b^{2}-z^{2}\right)^{\sqrt{d\,z}}=1.
A partir dessas informações vou derivar, passo a passo, o domínio em cada caso escolhido.

Passo 2

Relembrando / explicando as condições matemáticas que uso (aulas rápidas e concretas):
  • Sobre a raiz: \sqrt{u} (raiz principal) é real somente para u\ge 0. Aqui u=d\,z, logo exijo d\,z \ge 0.Isso significa: se d>0 então z\ge 0; se d<0 então z\le 0; se d=0 então d\,z=0 para todo z.
  • Sobre potenciação com expoente real: a expressão a^{\alpha} com a\in\mathbb{R} e \alpha\in\mathbb{R} só é bem definida (como número real) de forma contínua para todo \alpha quando a>0. Se a\le 0 surgem problemas (não usaremos casos com base negativa e expoente real não inteiro). Portanto exijo b^{2}-z^{2}>0\quad\Longleftrightarrow\quad |z|<b.Observação: se b=0 então b^{2}-z^{2}=-z^{2}\le 0 para todo z, logo não há domínio possível; por isso considerei b>0.
  • Sobre o logaritmo natural: \ln(t) está definido apenas para t>0. Além disso, como a função tem 1/\ln(\cdot), não posso ter \ln(\cdot)=0. Assim devo excluir os z que satisfaçam \left(b^{2}-z^{2}\right)^{\sqrt{d\,z}}=1.Para a>0 e \alpha\in\mathbb{R} vale: a^{\alpha}=1 acontece exatamente em dois tipos de situação:
    • \alpha=0 (qualquer a>0 com expoente zero dá 1);
    • ou a=1 (qualquer expoente real dá 1).
      Conclusão: devo excluir conjuntos onde \sqrt{d\,z}=0 (ou seja, d\,z=0) e também excluir onde b^{2}-z^{2}=1.
Com essas regras, vou analisar cada caso escolhido.

Passo 3

Caso 1: d>0 (e b>0). Aplicando as condições listadas:
  • Da raiz: d>0 implica d\,z\ge 0 \iff z\ge 0.
  • Da base positiva: |z|<b. Combinando com z\ge 0 obtemos 0 \le z < b.
  • Agora excluímos pontos onde a função não está definida por ter denominador zero:
    1. Excluir z tais que \sqrt{d\,z}=0. Como d>0, isso equivale a z=0. Logo z=0 deve ser retirado porque então o expoente é zero e \left(b^{2}-z^{2}\right)^{0}=1\Rightarrow \ln(1)=0.
    2. Excluir z tais que b^{2}-z^{2}=1. Resolver b^{2}-z^{2}=1 z^{2}=b^{2}-1\quad\Longrightarrow\quad z=\pm\sqrt{b^{2}-1},quando b^{2}-1\ge 0 (isto é, b\ge 1). No intervalo 0\le z<b só o valor positivo z=\sqrt{b^{2}-1} cai ali; portanto, se b\ge 1 é preciso excluir z=\sqrt{b^{2}-1}. Se 0<b<1 então b^{2}-1<0 e não existe solução real para b^{2}-z^{2}=1, logo nada a excluir por esse motivo.
  • Conclusão do Caso 1: para d>0 e b>0, \text{domínio}=\{z\in\mathbb{R}\mid 0<z<b\}\setminus\{\sqrt{b^{2}-1}\\ \text{se }b\ge 1\}.íEm palavras: todos os z estritamente entre 0 e b, com a remoção extra do ponto z=\sqrt{b^{2}-1} quando b\ge 1. (Removi z=0 porque dá expoente zero.)

Passo 4

Vou escrever a conclusão do Caso 1 de forma matematicamente clara (sem ambiguidade). Para d>0 e b>0:
  • Se 0<b<1, então \sqrt{b^{2}-1} não existe em \mathbb{R} e o domínio é \{z\in\mathbb{R}\mid 0<z<b\}.
  • Se b\ge 1, então o domínio é \{z\in\mathbb{R}\mid 0<z<b\}\setminus\{\sqrt{b^{2}-1}\}.
Explicitação: o ponto z=0 é excluído porque faz o expoente zero; o ponto z=\sqrt{b^{2}-1} é excluído quando existe porque faz a base igual a 1, o que torna o argumento do log igual a 1 e o denominador igual a zero.

Passo 5

Caso 2: d<0 (e b>0). As condições:
  • Da raiz: d<0 implica d\,z\ge 0 \iff z\le 0.
  • Da base positiva: |z|<b i.e. -b<z<b.
  • Combinando: -b<z\le 0. Mas z=0 dá expoente zero (porque d\,z=0), e assim resulta \ln(1)=0 no denominador; logo z=0 deve ser excluído. Assim a faixa inicial válida é -b<z<0.
  • Agora excluir pontos onde b^{2}-z^{2}=1. As soluções são z=\pm\sqrt{b^{2}-1} se b\ge 1. Na faixa -b<z<0 o possível problema é z=-\sqrt{b^{2}-1} (valor negativo). Logo quando b\ge 1 deve-se retirar também z=-\sqrt{b^{2}-1}. Se 0<b<1 não há solução real para b^{2}-z^{2}=1 e nada mais a remover.
  • Conclusão do Caso 2: para d<0 e b>0, \text{domínio}=\{z\in\mathbb{R}\mid -b<z<0\}\setminus\{-\sqrt{b^{2}-1}\\ \text{se }b\ge 1\}.íEm palavras: todos os z estritamente entre -b e 0, excluindo o ponto negativo que torna a base igual a 1 quando b\ge 1.

Passo 6

Expressando o Caso 2 com distinções em b:
  • Se 0<b<1, domínio é \{z\in\mathbb{R}\mid -b<z<0\}.
  • Se b\ge 1, domínio é \{z\in\mathbb{R}\mid -b<z<0\}\setminus\{-\sqrt{b^{2}-1}\}.

Passo 7

Caso 3: d=0 (e b>0). Aqui a situação é especial:
  • A raiz \sqrt{d\,z}=\sqrt{0}=0 está definida (não depende de z), porque d\,z=0 para todo z.
  • Logo o expoente é sempre 0, então \left(b^{2}-z^{2}\right)^{\sqrt{d\,z}}=\left(b^{2}-z^{2}\right)^{0}=1 sempre que a potência a^{0} faça sentido (isto é, sempre que a base seja diferente de zero). Se a base for zero (isto é, se z=\pm b) temos a indeterminação 0^{0}, que não é permitida.
  • Em qualquer caso em que a potência possa ser avaliada (exceto talvez z=\pm b onde é 0^{0}), o resultado é 1, e \ln(1)=0. Como o denominador é \ln(\cdot), a função fica com denominação zero para todo z onde a potência for definida; nos pontos z=\pm b a potência é indefinida ( 0^{0}), logo também não permitem inclusão no domínio.
  • Conclusão do Caso 3: não existe z\in\mathbb{R} que faça f(z) bem definida; o domínio é o conjunto vazio: \text{domínio}=\varnothing.í

Passo 8

Resumo didático rápido (para gravar na prova): as restrições essenciais que sempre verifico são, na ordem:
  1. \sqrt{d\,z} real \Rightarrow d\,z\ge 0.
  2. Base positiva \Rightarrow b^{2}-z^{2}>0 (ou seja, |z|<b).
  3. Excluir pontos onde o expoente é zero (pois então potência =1 e \ln(1)=0). Ou seja, excluir soluções de d\,z=0.
  4. Excluir pontos onde a base é 1, i.e. b^{2}-z^{2}=1, porque isso também produz argumento do log igual a 1.
  5. Se d=0 tudo vira exposição zero e a função não existe em nenhum z.
Com isso, os três casos já estão calculados e prontos para consulta rápida.

Resposta

Caso 1 ( d>0,\\ b>0): \{z\in\mathbb{R}\mid 0<z<b\} se 0<b<1, e \{z\in\mathbb{R}\mid 0<z<b\}\setminus\{\sqrt{b^{2}-1}\} se b\ge 1.
Caso 2 ( d<0,\\ b>0): \{z\in\mathbb{R}\mid -b<z<0\} se 0<b<1, e \{z\in\mathbb{R}\mid -b<z<0\}\setminus\{-\sqrt{b^{2}-1}\} se b\ge 1.
Caso 3 ( d=0,\\ b>0): \varnothing.

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