QUESTÃO 1 - Escolha e determine o domínio de 3 (faça 6 se for de dupla; 9 se for de trio) das seguintes funções reais:
\mathrm{f}(\delta)=\frac{\ln (\delta+b)}{c^{2}-\delta^{2}}-\sqrt{a^{2}-\delta^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função real
\mathrm{f}(\delta)=\frac{\ln(\delta+b)}{c^{2}-\delta^{2}}-\sqrt{a^{2}-\delta^{2}}
e pede o domínio dessa função (os valores de \delta\in\mathbb{R} para os quais a expressão está bem definida). Considera-se que a,b,c são constantes reais dadas. Vou listar as informações relevantes que o enunciado fornece e as restrições que cada parte da expressão impõe:
  • Há um logaritmo natural \ln(\delta+b).
  • Há um denominador c^{2}-\delta^{2} que não pode ser zero.
  • Há uma raiz quadrada \sqrt{a^{2}-\delta^{2}} que exige argumento não-negativo.
    A resolução começa a partir dessas três restrições separadas.

Passo 2

Condição vinda do logaritmo: para \ln(\delta+b) ser definido sobre os reais precisa valer
\delta+b>0.
Isso equivale a
\delta>-b.
Explicando devagar: a função \ln(x) só existe para x>0. Aqui o argumento é x=\delta+b, logo pedimos \delta+b>0, que rearranjando dá \delta>-b.

Passo 3

Condição vinda da raiz quadrada: para \sqrt{a^{2}-\delta^{2}} ser real precisa valer
a^{2}-\delta^{2}\ge 0.
Resolvendo isso obtemos
\delta^{2}\le a^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad |\delta|\le |a|.
Ou, em intervalo,
\delta\in[-|a|,\;|a|].
Explicando: a raiz quadrada real exige o radicando não-negativo. A inequação a^{2}-\delta^{2}\ge0 é equivalente a -|a|\le\delta\le|a|.

Passo 4

Condição vinda do denominador: não podemos ter divisão por zero, logo exigimos
c^{2}-\delta^{2}\neq 0.
Factorizando c^{2}-\delta^{2}=(c-\delta)(c+\delta) vemos que a igualdade a zero ocorre em \delta=\pm c. Portanto devemos excluir esses pontos:
\delta\neq c\quad\text{e}\quad\delta\neq -c.
Observação prática: só é preciso excluir \pm c se esses valores estiverem no intervalo permitido pelas outras condições; se um desses valores já viola |\delta|\le|a| ou \delta>-b, então não há exclusão adicional naquele ponto.

Passo 5

Agora fazemos a interseção das três condições para obter o domínio. Reunindo:
  • da raiz: \delta\in[-|a|,|a|];
  • do log: \delta\in(-b,\infty);
  • do denominador: \delta\neq\pm c.
Logo o domínio é a interseção dos dois intervalos com a retirada dos pontos \pm c:
\mathrm{Dom}(f)=\bigl([-|a|,|a|]\bigr)\cap\bigl((-b,\infty)\bigr)\setminus\{\,-c,\;c\,\}.
Em palavras: tomar todos os \delta entre -|a| e |a| (inclusive), restringir a apenas aqueles maiores que -b (ou seja, à direita de -b), e então, se -c ou c estiverem nesse conjunto, excluí-los porque anulariam o denominador.

Passo 6

Para ficar prático — como faríamos na prova — recomenda-se checar casos especiais rápidos:
  • Se a interseção [-|a|,|a|]\cap(-b,\infty) for vazia, então o domínio é o conjunto vazio.
  • Se, por exemplo, c ou -c estiverem fora do intervalo [-|a|,|a|] ou forem menores ou iguais a -b, então não precisam ser excluídos (já não pertencem à interseção).
  • Exemplo numérico para fixar a ideia: com a=2,\\ b=1,\\ c=1 temos [-|a|,|a|]=[-2,2], (-b,\infty)=(-1,\infty), interseção (-1,2]. Como c=1\in(-1,2] precisamos excluir \delta=1. Assim o domínio seria (-1,1)\cup(1,2]. Esse tipo de verificação rápida é útil na prova para dar a resposta em forma de intervalo numérico quando a,b,c forem números.

Resposta

\mathrm{Dom}(f)=\bigl([-|a|,|a|]\bigr)\cap\bigl((-b,\infty)\bigr)\setminus\{\,-c,\;c\,\}

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