QUESTÃO 1 - Escolha e determine o domínio de 3 (faça 6 se for de dupla; 9 se for de trio) das seguintes funções reais:
Passo 1
O enunciado nos dá a função real
e pede o domínio dessa função (os valores de
para os quais a expressão está bem definida). Considera-se que
são constantes reais dadas. Vou listar as informações relevantes que o enunciado fornece e as restrições que cada parte da expressão impõe:
- Há um logaritmo natural
. - Há um denominador
que não pode ser zero. - Há uma raiz quadrada
que exige argumento não-negativo.
A resolução começa a partir dessas três restrições separadas.
Passo 2
Condição vinda do logaritmo: para
ser definido sobre os reais precisa valer
Isso equivale a
Explicando devagar: a função
só existe para
. Aqui o argumento é
, logo pedimos
, que rearranjando dá
.
Passo 3
Condição vinda da raiz quadrada: para
ser real precisa valer
Resolvendo isso obtemos
Ou, em intervalo,
Explicando: a raiz quadrada real exige o radicando não-negativo. A inequação
é equivalente a
.
Passo 4
Condição vinda do denominador: não podemos ter divisão por zero, logo exigimos
Factorizando
vemos que a igualdade a zero ocorre em
. Portanto devemos excluir esses pontos:
Observação prática: só é preciso excluir
se esses valores estiverem no intervalo permitido pelas outras condições; se um desses valores já viola
ou
, então não há exclusão adicional naquele ponto.
Passo 5
Agora fazemos a interseção das três condições para obter o domínio. Reunindo:
- da raiz:
; - do log:
; - do denominador:
.
Logo o domínio é a interseção dos dois intervalos com a retirada dos pontos
:
Em palavras: tomar todos os
entre
e
(inclusive), restringir a apenas aqueles maiores que
(ou seja, à direita de
), e então, se
ou
estiverem nesse conjunto, excluí-los porque anulariam o denominador.
Passo 6
Para ficar prático — como faríamos na prova — recomenda-se checar casos especiais rápidos:
- Se a interseção
for vazia, então o domínio é o conjunto vazio. - Se, por exemplo,
ou estiverem fora do intervalo ou forem menores ou iguais a , então não precisam ser excluídos (já não pertencem à interseção). - Exemplo numérico para fixar a ideia: com
temos , , interseção . Como precisamos excluir . Assim o domínio seria . Esse tipo de verificação rápida é útil na prova para dar a resposta em forma de intervalo numérico quando forem números.