QUESTÃO 1 - Escolha e determine o domínio de 3 (faça 6 se for de dupla; 9 se for de trio) das seguintes funções reais: \mathbf{f}(\boldsymbol{\varphi})=\tan \left(\sqrt{\frac{\mathbf{c}^{2}+\boldsymbol{\varphi}^{2}}{\mathbf{a}^{2}-\boldsymbol{\varphi}^{2}}}\right)
onde \varphi é a variável real e a,c são constantes reais (não foram dadas outras informações sobre a e c). A tarefa é escolher e determinar o domínio de 3 versões desta função. Vou escolher três casos representativos e úteis na prova:
Caso geral com a\neq 0 e c arbitrário (expressão do domínio em termos de a,c).
Caso especial c=0 (simplificação que facilita cálculos e ilustra exclusões).
Caso a=0 (situação limite que costuma dar domínio vazio).
Nesta etapa apenas identifiquei o que é pedido e quais são os dados; a resolução efetiva começa no Passo 2.
Passo 2
Primeira coisa que precisamos entender (relembrando como se faz numa prova): o domínio de f requer que a expressão dentro da raiz quadrada seja um número real não negativo e que a tangente esteja definida para o valor resultante da raiz.
Condição da raiz: dentro da raiz temos a fração
\frac{c^{2}+\varphi^{2}}{a^{2}-\varphi^{2}}.
Para que a raiz quadrada seja real precisamos dessa fração ser maior ou igual a zero e o denominador não pode ser zero.
Analisando o numerador: c^{2}+\varphi^{2}\ge 0 para todo \varphi, e só é zero se e somente se c=0 e \varphi=0.
Logo, quando o numerador é estritamente positivo (caso genérico, isto é, se não tivermos c=0 e \varphi=0 simultaneamente), a fração tem o mesmo sinal do denominador. Portanto é necessário
a^{2}-\varphi^{2}>0,
ou seja
|\varphi|<|a|.
Além disso, o caso numerador =0 (isto é, c=0 e \varphi=0) só é possível se o denominador for não nulo, o que exige também |0|<|a|, isto é, a\neq 0. Assim, de modo geral, a condição proveniente da raiz é
\text{(condição da raiz)}:\qquad a\neq 0\quad\text{e}\quad |\varphi|<|a|.
Se a=0 veremos que não há \varphi que satisfaça a condição (detalho no Passo 5).
Passo 3
Agora tratamos a tangente: \tan(t) está indefinida quando
t=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
No nosso caso t=\sqrt{\dfrac{c^{2}+\varphi^{2}}{a^{2}-\varphi^{2}}}. Como t\ge 0 pela definição da raiz, os valores problemáticos são
Portanto, para cada k\ge 0 tal que o lado direito seja não negativo, existem soluções \varphi=\pm\sqrt{\dfrac{s_{k}a^{2}-c^{2}}{1+s_{k}}} que devem ser excluídas do domínio (desde que essas soluções também satisfaçam |\varphi|<|a|, o que é automático se o numerador s_{k}a^{2}-c^{2}< (1+s_k)a^2, mas em prática verificamos a desigualdade ao encontrar o valor).
Resumo: partindo da condição da raiz |\varphi|<|a| (com a\neq 0), devemos excluir os pontos
com a observação de que se nenhum k satisfizer s_{k}a^{2}-c^{2}\ge 0 então não há exclusões adicionais e o domínio é simplesmente (-|a|,|a|).
Na prática, em prova costuma-se apresentar a forma acima e, se os parâmetros a,c forem dados numericamente, calcular explicitamente os pontos excluídos (são poucos porque, para crescer k, s_k cresce e a condição s_k a^2 - c^2 \ge 0 só vale a partir de algum k se for verdade; na maioria dos casos só alguns primeiros k produzem raízes reais).
Esse conjunto é intuitivo: intervalo aberto entre -|a| e |a| menos uma sequência simétrica de pontos finitos (ou contáveis) onde a tangente explode.
Caso 3 (a=0). Aqui o denominador é a^{2}-\varphi^{2}=-\varphi^{2}. O numerador é c^{2}+\varphi^{2}\ge 0. Para \varphi\neq 0 a fração é negativa (positivo dividido por negativo), dando raiz complexa; para \varphi=0 a fração é c^{2}/0 (indefinida) — portanto não existe \varphi\in\mathbb{R} que torne a expressão dentro da raiz um número real não negativo. Conclusão:
\text{se }a=0\text{ então }\text{Dom}(f)=\varnothing.ã
Passo 6
Comentário adicional (útil na prova): existe um cenário em que não há pontos a excluir além da condição |\varphi|<|a|. Se c^{2} for grande o suficiente em relação a a^{2}, concretamente se
então para todo k\ge 0 teremos s_{k}a^{2}-c^{2}\le 0 (porque s_{k}\ge s_{0}), logo não existem soluções reais da equação que torna a tangente indefinida. Nesse caso o domínio é simplesmente
(-|a|,|a|).
Esse comentário ajuda a identificar rapidamente domínios em situações com c grande.
Caso 2 (c=0): \displaystyle \text{Dom}(f)=(-|a|,|a|)\setminus\Bigl\{\pm a\sqrt{\frac{s_{k}}{1+s_{k}}}\\ \Bigm|\\ k=0,1,2,\dots\Bigr\}, com s_{k}=\bigl(\tfrac{\pi}{2}+k\pi\bigr)^{2}.
Caso 3 (a=0): \displaystyle \text{Dom}(f)=\varnothing.