QUESTÃO 3 - Escolha 2 (4 se for dupla; 6 se for trio) dentre as expressões abaixo e determine o valor de x que satisfaça as igualdades:
\log _{x} \mathbf{a} x=\log _{\mathrm{a}}\left(\mathbf{a} x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os valores de x que satisfazem a igualdade
\log_{x}\!(a x)=\log_{a}\!(a x^{2}).
Informações e condições relevantes (tirei isto das definições de logaritmo, são condições que temos de impor):
  • A base de qualquer logaritmo deve ser positiva e diferente de 1. Portanto devemos ter a>0, a\neq1 e x>0, x\neq1.
  • Os argumentos dos logaritmos devem ser positivos. Aqui os argumentos são a x e a x^{2}. Com a>0 e x>0 essas condições ficam satisfeitas.
    O objetivo claro: resolver a equação acima e apresentar todas as soluções x admissíveis (em termos de a).

Passo 2

Uma ferramenta muito útil é a fórmula de mudança de base para logaritmos. Ela diz que, para bases positivas diferentes de 1 e argumento positivo,
\log_{b} c = \frac{\ln c}{\ln b},
onde \ln é o logaritmo natural. Vou aplicar essa fórmula em cada lado da igualdade para trabalhar com \ln, que é mais simples para manipular.

Passo 3

Aplicando mudança de base temos
\frac{\ln(a x)}{\ln x} = \frac{\ln(a x^{2})}{\ln a}.
Agora uso as propriedades do logaritmo natural para expandir \ln(a x) e \ln(a x^{2}):
\ln(a x)=\ln a+\ln x, \qquad \ln(a x^{2})=\ln a+\ln(x^{2})=\ln a+2\ln x.

Passo 4

Substituindo essas expressões na igualdade obtemos
\frac{\ln a+\ln x}{\ln x}=\frac{\ln a+2\ln x}{\ln a}.
Multiplicando em cruz para eliminar denominadores:
(\ln a+\ln x)\,\ln a = (\ln a+2\ln x)\,\ln x.

Passo 5

Para simplificar a álgebra, defino A:=\ln a e X:=\ln x. Ambas podem ser negativas ou positivas, tudo bem — o que importa é que A e X são números reais (lembrando a\neq1\Rightarrow A\neq0; se A=0 ou X=0 a análise muda). A equação fica
(A+X)A=(A+2X)X.
Desenvolvendo:
A^{2}+AX = AX+2X^{2}.
Corta-se AX dos dois lados:
A^{2}=2X^{2}.

Passo 6

Da igualdade A^{2}=2X^{2} temos
X^{2}=\frac{A^{2}}{2}.
Tomando raiz quadrada (lembrando de considerar os dois sinais porque X pode ser positivo ou negativo):
X=\pm\frac{A}{\sqrt{2}}.
Não estamos perdendo soluções: a equação original era quadrática em X, então os dois sinais são possíveis. Observe também a questão X=0 (ou seja x=1) só ocorreria se A=0 (isto é a=1), mas a=1 é proibido. Então X\neq0 nas hipóteses válidas.

Passo 7

Voltando às variáveis originais: X=\ln x e A=\ln a. Assim
\ln x=\pm\frac{\ln a}{\sqrt{2}}.
Invertendo o logaritmo exponenciando:
x=\mathrm{e}^{\pm\frac{\ln a}{\sqrt{2}}}.
Usando \mathrm{e}^{\ln a}=a obtemos as soluções em forma mais direta:
x=a^{\pm\frac{1}{\sqrt{2}}}.

Passo 8

Uma verificação rápida (mínima) para ver que as duas soluções funcionam: com X=\pm A/\sqrt{2} temos
\frac{\ln a+\ln x}{\ln x}=1+\frac{\ln a}{\ln x}=1+\frac{A}{X}
e
\frac{\ln a+2\ln x}{\ln a}=1+\frac{2\ln x}{\ln a}=1+\frac{2X}{A}.
Para X=\pm A/\sqrt{2} tem-se \dfrac{A}{X}=\pm\sqrt{2} e \dfrac{2X}{A}=\pm\sqrt{2}, logo os dois lados coincidem. Portanto ambas as soluções são válidas quando a>0 e a\neq1.

Resposta

x=a^{\frac{1}{\sqrt{2}}}
x=a^{-\frac{1}{\sqrt{2}}}

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