QUESTÃO 3 - Escolha 2 (4 se for dupla; 6 se for trio) dentre as expressões abaixo e determine o valor de x que satisfaça as igualdades:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os valores de
que satisfazem a igualdade
Informações e condições relevantes (tirei isto das definições de logaritmo, são condições que temos de impor):
- A base de qualquer logaritmo deve ser positiva e diferente de
. Portanto devemos ter , e , . - Os argumentos dos logaritmos devem ser positivos. Aqui os argumentos são
e . Com e essas condições ficam satisfeitas.
O objetivo claro: resolver a equação acima e apresentar todas as soluçõesadmissíveis (em termos de ).
Passo 2
Uma ferramenta muito útil é a fórmula de mudança de base para logaritmos. Ela diz que, para bases positivas diferentes de
e argumento positivo,
onde
é o logaritmo natural. Vou aplicar essa fórmula em cada lado da igualdade para trabalhar com
, que é mais simples para manipular.
Passo 3
Aplicando mudança de base temos
Agora uso as propriedades do logaritmo natural para expandir
e
:
Passo 4
Substituindo essas expressões na igualdade obtemos
Multiplicando em cruz para eliminar denominadores:
Passo 5
Para simplificar a álgebra, defino
e
. Ambas podem ser negativas ou positivas, tudo bem — o que importa é que
e
são números reais (lembrando
; se
ou
a análise muda). A equação fica
Desenvolvendo:
Corta-se
dos dois lados:
Passo 6
Da igualdade
temos
Tomando raiz quadrada (lembrando de considerar os dois sinais porque
pode ser positivo ou negativo):
Não estamos perdendo soluções: a equação original era quadrática em
, então os dois sinais são possíveis. Observe também a questão
(ou seja
) só ocorreria se
(isto é
), mas
é proibido. Então
nas hipóteses válidas.
Passo 7
Voltando às variáveis originais:
e
. Assim
Invertendo o logaritmo exponenciando:
Usando
obtemos as soluções em forma mais direta:
Passo 8
Uma verificação rápida (mínima) para ver que as duas soluções funcionam: com
temos
e
Para
tem-se
e
, logo os dois lados coincidem. Portanto ambas as soluções são válidas quando
e
.