QUESTÃO 3 - Escolha 2 (4 se for dupla; 6 se for trio) dentre as expressões abaixo e determine o valor de x que satisfaça as igualdades: d * \operatorname{sen}\left(x^{2}-1\right) \cos (x)=\operatorname{sen}\left(x^{2}-1\right)
Passo 1
O enunciado nos dá a igualdade
d \cdot \operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}-1\bigr)\cos(x)=\operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}-1\bigr)
e pede os valores de x que satisfazem essa igualdade. Informações relevantes:
A incógnita é x (assumimos x real).
d aparece como um parâmetro constante (valor não especificado).
Queremos todas as soluções reais x em função de d.
Não se resolve nada ainda aqui — apenas identificamos o que foi dado e o que é pedido.
Passo 2
Vamos manipular algebricamente a equação para deixá-la em uma forma que permita usar propriedades conhecidas. Subtraindo o lado direito do esquerdo e fatorando, obtemos
Aqui usei a notação \sin para \operatorname{sen}. Explicando o passo: foi colocada a equação na forma “produto = 0” para aplicar a propriedade do produto nulo.
Passo 3
Propriedade do produto nulo (aqui uma mini-aula): se A\cdot B=0 com A e B reias, então pelo menos um dos fatores é zero: A=0 ou B=0. Aplicando isso ao nosso produto, obtemos duas possibilidades que geram dois ramos de soluções:
\sin\!\bigl(x^{2}-1\bigr)=0.
d\cos x-1=0.
Vamos resolver cada ramo separadamente.
Passo 4
Resolver \sin\!\bigl(x^{2}-1\bigr)=0.
Mini-aula sobre zeros do seno: \sin t=0 exatamente quando t=k\pi, com k\in\mathbb{Z}. Assim, impondo t=x^{2}-1 temos
x^{2}-1=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Isolando x,
x^{2}=1+k\pi.
Para termos soluções reais, é necessário 1+k\pi\ge 0. Como \pi\approx3{,}14, o menor inteiro k que satisfaz essa desigualdade é k=0. Portanto k=0,1,2,\dots. Assim as soluções deste ramo são
x=\pm\sqrt{1+k\pi},\qquad k=0,1,2,\dots
Explicação detalhada: cada k não-negativo dá duas soluções simétricas em torno de zero (exceto k tal que a raiz seja zero, o que não ocorre aqui porque 1+k\pi\ge1).
Passo 5
Resolver d\cos x-1=0, isto é \cos x=\dfrac{1}{d}.
Mini-aula sobre solução de \cos x=a: se a\in[-1,1] então as soluções gerais são
Observação: quando d=0 esse ramo é absurdo (divisão por zero) — nesse caso toda a informação vem apenas do ramo \sin(\cdot)=0. Quando d=1 obtemos \cos x=1\Rightarrow x=2\pi n, que é um caso particular compatível com a fórmula acima; quando d=-1 obtemos \cos x=-1\Rightarrow x=\pi+2\pi n.
Passo 6
Reunindo os dois conjuntos de soluções e observando possíveis condições:
Sempre temos as soluções vindas de \sin\!\bigl(x^{2}-1\bigr)=0:
x=\pm\sqrt{1+k\pi},\qquad k=0,1,2,\dots
Adicionalmente, se |d|\ge1, temos as soluções vindas de \cos x=\dfrac{1}{d}:
Pode haver interseção entre os dois conjuntos para valores específicos de d (por exemplo, se algum \pm\sqrt{1+k\pi} coincidir com uma das fórmulas de \cos x), mas isso não muda o conjunto total de soluções — apenas faz com que uma solução seja encontrada por ambos os ramos.
Passo 7
Exemplos rápidos para fixar (curta revisão prática):
Se d=2: \cos x=\tfrac{1}{2}\Rightarrow x=2\pi n\pm\frac{\pi}{3}. Além disso, sempre existem x=\pm\sqrt{1+k\pi}.
Se d=\tfrac{1}{2}: como |d|<1, não há soluções do ramo da cosseno; só existem x=\pm\sqrt{1+k\pi}.
Se d=0: só existe o ramo do seno, igual ao caso geral acima.