QUESTÃO 3 - Escolha 2 (4 se for dupla; 6 se for trio) dentre as expressões abaixo e determine o valor de x que satisfaça as igualdades:
d * \operatorname{sen}\left(x^{2}-1\right) \cos (x)=\operatorname{sen}\left(x^{2}-1\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a igualdade
d \cdot \operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}-1\bigr)\cos(x)=\operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}-1\bigr)
e pede os valores de x que satisfazem essa igualdade. Informações relevantes:
  • A incógnita é x (assumimos x real).
  • d aparece como um parâmetro constante (valor não especificado).
  • Queremos todas as soluções reais x em função de d.
    Não se resolve nada ainda aqui — apenas identificamos o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Vamos manipular algebricamente a equação para deixá-la em uma forma que permita usar propriedades conhecidas. Subtraindo o lado direito do esquerdo e fatorando, obtemos
d\sin\!\bigl(x^{2}-1\bigr)\cos x-\sin\!\bigl(x^{2}-1\bigr)=0
\Rightarrow \sin\!\bigl(x^{2}-1\bigr)\bigl(d\cos x-1\bigr)=0.
Aqui usei a notação \sin para \operatorname{sen}. Explicando o passo: foi colocada a equação na forma “produto = 0” para aplicar a propriedade do produto nulo.

Passo 3

Propriedade do produto nulo (aqui uma mini-aula): se A\cdot B=0 com A e B reias, então pelo menos um dos fatores é zero: A=0 ou B=0. Aplicando isso ao nosso produto, obtemos duas possibilidades que geram dois ramos de soluções:
  1. \sin\!\bigl(x^{2}-1\bigr)=0.
  2. d\cos x-1=0.
Vamos resolver cada ramo separadamente.

Passo 4

Resolver \sin\!\bigl(x^{2}-1\bigr)=0.
Mini-aula sobre zeros do seno: \sin t=0 exatamente quando t=k\pi, com k\in\mathbb{Z}. Assim, impondo t=x^{2}-1 temos
x^{2}-1=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Isolando x,
x^{2}=1+k\pi.
Para termos soluções reais, é necessário 1+k\pi\ge 0. Como \pi\approx3{,}14, o menor inteiro k que satisfaz essa desigualdade é k=0. Portanto k=0,1,2,\dots. Assim as soluções deste ramo são
x=\pm\sqrt{1+k\pi},\qquad k=0,1,2,\dots
Explicação detalhada: cada k não-negativo dá duas soluções simétricas em torno de zero (exceto k tal que a raiz seja zero, o que não ocorre aqui porque 1+k\pi\ge1).

Passo 5

Resolver d\cos x-1=0, isto é \cos x=\dfrac{1}{d}.
Mini-aula sobre solução de \cos x=a: se a\in[-1,1] então as soluções gerais são
x=2\pi n\pm\operatorname{arccos}(a),\qquad n\in\mathbb{Z}.
No nosso caso a=\dfrac{1}{d}. Para que exista solução real é preciso que \left|\dfrac{1}{d}\right|\le1, ou seja |d|\ge1. Portanto:
  • Se |d|<1: este ramo não fornece soluções (pois \dfrac{1}{d} está fora do intervalo [-1,1]).
  • Se |d|\ge1: as soluções são
x=2\pi n\pm\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{d}\right),\qquad n\in\mathbb{Z}.
Observação: quando d=0 esse ramo é absurdo (divisão por zero) — nesse caso toda a informação vem apenas do ramo \sin(\cdot)=0. Quando d=1 obtemos \cos x=1\Rightarrow x=2\pi n, que é um caso particular compatível com a fórmula acima; quando d=-1 obtemos \cos x=-1\Rightarrow x=\pi+2\pi n.

Passo 6

Reunindo os dois conjuntos de soluções e observando possíveis condições:
  • Sempre temos as soluções vindas de \sin\!\bigl(x^{2}-1\bigr)=0:
x=\pm\sqrt{1+k\pi},\qquad k=0,1,2,\dots
  • Adicionalmente, se |d|\ge1, temos as soluções vindas de \cos x=\dfrac{1}{d}:
x=2\pi n\pm\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{d}\right),\qquad n\in\mathbb{Z}.
Pode haver interseção entre os dois conjuntos para valores específicos de d (por exemplo, se algum \pm\sqrt{1+k\pi} coincidir com uma das fórmulas de \cos x), mas isso não muda o conjunto total de soluções — apenas faz com que uma solução seja encontrada por ambos os ramos.

Passo 7

Exemplos rápidos para fixar (curta revisão prática):
  • Se d=2: \cos x=\tfrac{1}{2}\Rightarrow x=2\pi n\pm\frac{\pi}{3}. Além disso, sempre existem x=\pm\sqrt{1+k\pi}.
  • Se d=\tfrac{1}{2}: como |d|<1, não há soluções do ramo da cosseno; só existem x=\pm\sqrt{1+k\pi}.
  • Se d=0: só existe o ramo do seno, igual ao caso geral acima.

Resposta

\displaystyle x=\pm\sqrt{1+k\pi},\qquad k=0,1,2,\dots
\displaystyle x=2\pi n\pm\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{d}\right),\qquad n\in\mathbb{Z},\\ \text{se }|d|\ge 1

Exercícios relacionados