QUESTÃO 4 - Escolha 1 ( 2 se for dupla; 3 se for trio) dentre as funções abaixo e calcule
, onde “a” em f(a) é a constante sorteada.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para calcular
, isto é, avaliar a função no ponto
. As informações relevantes que temos são:
- A expressão algébrica de
(peguei essa fórmula do enunciado). - As constantes
aparecem na fórmula, mas o enunciado não forneceu valores numéricos para elas — portanto o resultado será uma expressão em termos de . - Atenção necessária com domínio:
exige e a divisão exige . Vou tratar isso mais adiante.
Passo 2
Substituição direta
. Para avaliar
em
substitui-se
por
em toda a expressão. Assim temos
Passo 3
Simplificar argumentos óbvios e usar propriedades algébricas das funções envolvidas.
- Somar
dá , então no denominador fica . - Usar a propriedade do logaritmo:
. Aqui é importante o valor absoluto: não pode ser zero, e para vale a identidade com . Portanto podemos reescrever o numerador como .
Aplicando essas simplificações obtemos
Passo 4
Breve aula sobre as funções que apareceram e como calcular na prática (para você conseguir na prova).
-
(senh ou seno hiperbólico) é definida por
Isso significa que, se precisar de valor numérico exato, pode-se escrever
como
. Em prova sem calculadora, normalmente deixam
em forma simbólica ou escolhem números que tornam a expressão simples (por exemplo
dá
).
-
é o logaritmo natural. A identidade é útil para simplificar e para ver comportamento quando é 1 (pois ). -
é a função arco-tangente. Note que . Portanto é proibido ter no denominador, caso isso aconteça o valor de fica indefinido.
Domínio e observações importantes:
-
exige . Logo é automaticamente proibido. - Se
então e ainda mais temos indefinido, então não existe em . - Não há outro
que torne , porque só se . Assim a única proibição é . - Se na prova você receber valores numéricos, calcule
via exponenciais ou deixe em forma simbólica se for pedido simplificar; calcule com a propriedade de log; e faça a divisão por .
Passo 5
Exemplo prático rápido para fixar (não preciso de valores sorteados; é só ilustrar como aplicar): suponha que a sorte deu
e
(qualquer
). Então
e
. Assim o numerador vira
e
Isso mostra um truque útil em prova: procurar condições que zere o numerador (por exemplo
e
simplificam muito). Se em vez disso
e não houver cancelamento, mantenha a forma simplificada do Passo 3 e substitua os números dados.