QUESTÃO 4 - Escolha 1 ( 2 se for dupla; 3 se for trio) dentre as funções abaixo e calcule \mathbf{f}(\mathbf{a}), onde “a” em f(a) é a constante sorteada.
\mathbf{f}(\mathbf{x})=\frac{\operatorname{senh}(x-\mathbf{b})-\mathbf{c} \times \ln \left(x^{2}\right)}{\arctan (x+\mathbf{a})}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
\mathbf{f}(\mathbf{x})=\frac{\operatorname{sinh}(x-\mathbf{b})-\mathbf{c}\times\ln\!\left(x^{2}\right)}{\arctan(x+\mathbf{a})}
e pede para calcular \mathbf{f}(\mathbf{a}), isto é, avaliar a função no ponto x=\mathbf{a}. As informações relevantes que temos são:
  • A expressão algébrica de \mathbf{f}(x) (peguei essa fórmula do enunciado).
  • As constantes \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} aparecem na fórmula, mas o enunciado não forneceu valores numéricos para elas — portanto o resultado será uma expressão em termos de \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}.
  • Atenção necessária com domínio: \ln(x^{2}) exige x\neq 0 e a divisão exige \arctan(x+\mathbf{a})\neq 0. Vou tratar isso mais adiante.

Passo 2

Substituição direta x=\mathbf{a}. Para avaliar \mathbf{f} em \mathbf{a} substitui-se x por \mathbf{a} em toda a expressão. Assim temos
\mathbf{f}(\mathbf{a})=\frac{\operatorname{sinh}(\mathbf{a}-\mathbf{b})-\mathbf{c}\times\ln\!\left(\mathbf{a}^{2}\right)}{\arctan(\mathbf{a}+\mathbf{a})}.

Passo 3

Simplificar argumentos óbvios e usar propriedades algébricas das funções envolvidas.
  • Somar \mathbf{a}+\mathbf{a} 2\mathbf{a}, então no denominador fica \arctan(2\mathbf{a}).
  • Usar a propriedade do logaritmo: \ln(\mathbf{a}^{2}) = 2\ln|\mathbf{a}|. Aqui é importante o valor absoluto: \mathbf{a} não pode ser zero, e para \mathbf{a}\neq 0 vale a identidade com |\mathbf{a}|. Portanto podemos reescrever o numerador como \operatorname{sinh}(\mathbf{a}-\mathbf{b})-2\mathbf{c}\,\ln|\mathbf{a}|.
Aplicando essas simplificações obtemos
\mathbf{f}(\mathbf{a})=\frac{\operatorname{sinh}(\mathbf{a}-\mathbf{b})-2\mathbf{c}\,\ln|\mathbf{a}|}{\arctan(2\mathbf{a})}.

Passo 4

Breve aula sobre as funções que apareceram e como calcular na prática (para você conseguir na prova).
  • \operatorname{sinh}(z) (senh ou seno hiperbólico) é definida por
\operatorname{sinh}(z)=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}.
Isso significa que, se precisar de valor numérico exato, pode-se escrever \operatorname{sinh}(\mathbf{a}-\mathbf{b}) como \dfrac{e^{\mathbf{a}-\mathbf{b}}-e^{-(\mathbf{a}-\mathbf{b})}}{2}. Em prova sem calculadora, normalmente deixam \operatorname{sinh} em forma simbólica ou escolhem números que tornam a expressão simples (por exemplo \mathbf{a}-\mathbf{b}=0 \operatorname{sinh} 0=0).
  • \ln é o logaritmo natural. A identidade \ln(\mathbf{a}^{2})=2\ln|\mathbf{a}| é útil para simplificar e para ver comportamento quando |\mathbf{a}| é 1 (pois \ln 1=0).
  • \arctan é a função arco-tangente. Note que \arctan(0)=0. Portanto é proibido ter \arctan(2\mathbf{a})=0 no denominador, caso isso aconteça o valor de \mathbf{f}(\mathbf{a}) fica indefinido.
Domínio e observações importantes:
  • \ln(\mathbf{a}^{2}) exige \mathbf{a}\neq 0. Logo \mathbf{a}=0 é automaticamente proibido.
  • Se \mathbf{a}=0 então \arctan(2\mathbf{a})=\arctan(0)=0 e ainda mais temos \ln(0) indefinido, então \mathbf{f}(\mathbf{a}) não existe em \mathbf{a}=0.
  • Não há outro \mathbf{a} que torne \arctan(2\mathbf{a})=0, porque \arctan(y)=0 só se y=0. Assim a única proibição é \mathbf{a}=0.
  • Se na prova você receber valores numéricos, calcule \operatorname{sinh}(\mathbf{a}-\mathbf{b}) via exponenciais ou deixe em forma simbólica se for pedido simplificar; calcule \ln|\mathbf{a}| com a propriedade de log; e faça a divisão por \arctan(2\mathbf{a}).

Passo 5

Exemplo prático rápido para fixar (não preciso de valores sorteados; é só ilustrar como aplicar): suponha que a sorte deu \mathbf{a}=1 e \mathbf{b}=1 (qualquer \mathbf{c}). Então \mathbf{a}-\mathbf{b}=0 e \ln(1^{2})=0. Assim o numerador vira \operatorname{sinh}(0)-\mathbf{c}\cdot 0 = 0 e
\mathbf{f}(1)=\frac{0}{\arctan(2)}=0.
Isso mostra um truque útil em prova: procurar condições que zere o numerador (por exemplo \mathbf{a}=\mathbf{b} e |\mathbf{a}|=1 simplificam muito). Se em vez disso \mathbf{a}\neq 0 e não houver cancelamento, mantenha a forma simplificada do Passo 3 e substitua os números dados.

Resposta

\displaystyle \mathbf{f}(\mathbf{a})=\frac{\operatorname{sinh}(\mathbf{a}-\mathbf{b})-2\mathbf{c}\,\ln|\mathbf{a}|}{\arctan(2\mathbf{a})}

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