QUESTÃO 4 - Escolha 1 ( 2 se for dupla; 3 se for trio) dentre as funções abaixo e calcule \mathbf{f}(\mathbf{a}), onde “a” em f(a) é a constante sorteada.
\mathbf{f}(\mathbf{x})=\sqrt{\operatorname{sen}\left\{\sqrt{\cos \sqrt{[\arctan x]}}\right\}}

Passo 1

O enunciado pede calcular \mathbf{f}(\mathbf{a}), onde \mathbf{f} está dada por
\mathbf{f}(\mathbf{x})=\sqrt{\operatorname{sen}\left\{\sqrt{\cos \sqrt{[\arctan x]}}\right\}}.
Informações que temos do enunciado:
  • A função explícita \mathbf{f}(\mathbf{x}) conforme escrita acima (peguei a fórmula do enunciado).
  • O enunciado pede \mathbf{f}(\mathbf{a}), ou seja, substituir x por uma constante a e calcular o valor.
  • Não foi fornecido um valor numérico para a no texto que você enviou.
Observação importante: sem o valor numérico de a não é possível dar um único número como resposta. Vou, então, mostrar passo a passo como calcular \mathbf{f}(\mathbf{a}) em termos de a, quais verificações de domínio são necessárias para o valor ser real, e dar exemplos numéricos ilustrativos (se quiser, depois você me diz qual foi o a sorteado e eu calculo exatamente).

Passo 2

Escrever a composição de dentro para fora: ao substituir x=a a função fica
\mathbf{f}(a)=\sqrt{\operatorname{sen}\!\left(\sqrt{\cos\!\sqrt{\arctan a}}\right)}.
Para calcular isso corretamente fazemos as operações na ordem interna → externa. Vou definir notações intermediárias para facilitar e explicar cada etapa com cuidado.

Passo 3

Primeiro passo interno: calcular
t_1=\arctan a.
O que é isso e o que devemos saber:
  • \arctan a é o arco-tangente de a; é o ângulo cujo \tan é a.
  • Domínio: \arctan a está definido para todo a\in\mathbb{R}.
  • Contrapartida útil: \arctan a\in\big(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big). Em particular, se a\ge 0 então t_1=\arctan a\in[0,\tfrac{\pi}{2}).

Passo 4

Segundo passo: aplicar a raiz quadrada ao resultado de \arctan a:
t_2=\sqrt{t_1}=\sqrt{\arctan a}.
Condição para essa operação ser real:
  • Precisamos de t_1=\arctan a\ge 0.
  • Portanto, para que t_2 seja real precisamos ter a\ge 0 (porque \arctan a\ge0 a\ge0).
  • Observe que se a<0 a raiz produziria número imaginário; aqui estamos assumindo cálculo no conjunto dos reais a menos que o enunciado peça complexos.

Passo 5

Terceiro passo: aplicar o cosseno:
t_3=\cos(t_2)=\cos\big(\sqrt{\arctan a}\big).
Propriedades úteis:
  • \cos está definida para todo real e tem imagem em [-1,1].
  • Para a próxima raiz quadrada precisaremos de t_3\ge 0.
  • Mas note: se a\ge0 então t_2=\sqrt{\arctan a}\in[0,\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}).
    • Numérico: \sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\approx 1,253 e \tfrac{\pi}{2}\approx1{,}571.
    • Como t_2\in[0,1{,}253\ldots) e \cos é positiva em [0,\tfrac{\pi}{2}), temos \cos(t_2)>0 para todo a\ge0.
  • Conclusão: se a\ge0 então automaticamente t_3=\cos(t_2)\in(0,1], logo é seguro tirar a raiz quadrada real em seguida.

Passo 6

Quarto passo: raiz quadrada do cosseno
t_4=\sqrt{t_3}=\sqrt{\cos\big(\sqrt{\arctan a}\big)}.
Observações:
  • Como vimos, para a\ge0 tem-se t_3\ge 0, então t_4 é real e satisfaz t_4\in[0,1].
  • Em particular, t_4\le 1.

Passo 7

Quinto passo: aplicar seno à t_4:
t_5=\sin(t_4)=\operatorname{sen}\!\left(\sqrt{\cos\big(\sqrt{\arctan a}\big)}\right).
Propriedades úteis:
  • Como t_4\in[0,1] (radianos), temos t_4 num intervalo contido em [0,\pi] e de fato em [0,1]\subset[0,\tfrac{\pi}{2}].
  • Para u\in[0,1] vale \sin u\ge 0 (seno não negativo nesse intervalo).
  • Portanto t_5=\sin(t_4)\ge 0. Isso garante que a raiz final será bem definida.

Passo 8

Sexto e último passo: raiz externa
\mathbf{f}(a)=\sqrt{t_5}=\sqrt{\operatorname{sen}\!\left(\sqrt{\cos\big(\sqrt{\arctan a}\big)}\right)}.
Conclusões sobre existência real:
  • Para que toda a composição seja real basta que a\ge 0. Então, se a\ge 0, todas as raízes quadradas e o seno/cosseno são números reais e não há problemas de domínio.
  • Se a<0 a raiz \sqrt{\arctan a} já falha (porque \arctan a<0), então a função não é real para a<0 (a não ser que se considere números complexos, o que não é o caso padrão).

Passo 9

Como avaliar numericamente na prática (procedimento que você pode aplicar na prova):
  1. Calcule \arctan a. Se a for um valor especial conhecido (por ex. a=0 \arctan0=0; a=1 \arctan1=\tfrac{\pi}{4}) use a identidade exata; senão calcule uma aproximação em radianos.
  2. Tire a raiz: t_2=\sqrt{\arctan a}.
  3. Calcule t_3=\cos(t_2).
  4. Tire a raiz: t_4=\sqrt{t_3}.
  5. Calcule t_5=\sin(t_4).
  6. Finalmente, \mathbf{f}(a)=\sqrt{t_5}.
Exemplo (ilustrativo, sem calculadora exata):
  • Para a=0: \arctan 0 = 0,\quad \sqrt{0}=0,\quad \cos 0 = 1,\quad \sqrt{1}=1,\quad \sin 1\approx 0{,}84147,\quad \sqrt{0{,}84147}\approx 0{,}917.Logo \mathbf{f}(0)\approx 0{,}917.
  • Para a=1: \arctan 1=\tfrac{\pi}{4}\approx 0{,}7854,\quad \sqrt{\tfrac{\pi}{4}}\approx 0{,}88623,
\cos(0{,}88623)\approx 0{,}632,\quad \sqrt{0{,}632}\approx 0{,}795,\quad \sin(0{,}795)\approx 0{,}713,
\mathbf{f}(1)\approx \sqrt{0{,}713}\approx 0{,}844.
Esses exemplos mostram como aplicar o passo a passo quando a é dado.

Resposta

\sqrt{\operatorname{sen}\!\left(\sqrt{\cos\!\sqrt{\arctan a}}\right)} para a\ge 0.

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