QUESTÃO 4 - Escolha 1 ( 2 se for dupla; 3 se for trio) dentre as funções abaixo e calcule \mathbf{f}(\mathbf{a}), onde “a” em f(a) é a constante sorteada. \mathbf{f}(\mathbf{x})=\sqrt{\operatorname{sen}\left\{\sqrt{\cos \sqrt{[\arctan x]}}\right\}}
Passo 1
O enunciado pede calcular \mathbf{f}(\mathbf{a}), onde \mathbf{f} está dada por
A função explícita \mathbf{f}(\mathbf{x}) conforme escrita acima (peguei a fórmula do enunciado).
O enunciado pede \mathbf{f}(\mathbf{a}), ou seja, substituir x por uma constante a e calcular o valor.
Não foi fornecido um valor numérico para a no texto que você enviou.
Observação importante: sem o valor numérico de a não é possível dar um único número como resposta. Vou, então, mostrar passo a passo como calcular \mathbf{f}(\mathbf{a}) em termos de a, quais verificações de domínio são necessárias para o valor ser real, e dar exemplos numéricos ilustrativos (se quiser, depois você me diz qual foi o a sorteado e eu calculo exatamente).
Passo 2
Escrever a composição de dentro para fora: ao substituir x=a a função fica
Para calcular isso corretamente fazemos as operações na ordem interna → externa. Vou definir notações intermediárias para facilitar e explicar cada etapa com cuidado.
Passo 3
Primeiro passo interno: calcular
t_1=\arctan a.
O que é isso e o que devemos saber:
\arctan a é o arco-tangente de a; é o ângulo cujo \tan é a.
Domínio: \arctan a está definido para todo a\in\mathbb{R}.
Contrapartida útil: \arctan a\in\big(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big). Em particular, se a\ge 0 então t_1=\arctan a\in[0,\tfrac{\pi}{2}).
Passo 4
Segundo passo: aplicar a raiz quadrada ao resultado de \arctan a:
t_2=\sqrt{t_1}=\sqrt{\arctan a}.
Condição para essa operação ser real:
Precisamos de t_1=\arctan a\ge 0.
Portanto, para que t_2 seja real precisamos ter a\ge 0 (porque \arctan a\ge0 ⇔ a\ge0).
Observe que se a<0 a raiz produziria número imaginário; aqui estamos assumindo cálculo no conjunto dos reais a menos que o enunciado peça complexos.
Passo 5
Terceiro passo: aplicar o cosseno:
t_3=\cos(t_2)=\cos\big(\sqrt{\arctan a}\big).
Propriedades úteis:
\cos está definida para todo real e tem imagem em [-1,1].
Para a próxima raiz quadrada precisaremos de t_3\ge 0.
Mas note: se a\ge0 então t_2=\sqrt{\arctan a}\in[0,\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}).
Numérico: \sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\approx 1,253 e \tfrac{\pi}{2}\approx1{,}571.
Como t_2\in[0,1{,}253\ldots) e \cos é positiva em [0,\tfrac{\pi}{2}), temos \cos(t_2)>0 para todo a\ge0.
Conclusão: se a\ge0 então automaticamente t_3=\cos(t_2)\in(0,1], logo é seguro tirar a raiz quadrada real em seguida.
Para que toda a composição seja real basta que a\ge 0. Então, se a\ge 0, todas as raízes quadradas e o seno/cosseno são números reais e não há problemas de domínio.
Se a<0 a raiz \sqrt{\arctan a} já falha (porque \arctan a<0), então a função não é real para a<0 (a não ser que se considere números complexos, o que não é o caso padrão).
Passo 9
Como avaliar numericamente na prática (procedimento que você pode aplicar na prova):
Calcule \arctan a. Se a for um valor especial conhecido (por ex. a=0 ⇒ \arctan0=0; a=1 ⇒ \arctan1=\tfrac{\pi}{4}) use a identidade exata; senão calcule uma aproximação em radianos.