Questão 3: Resolva as seguintes equações de Euler-Cauchy:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Cauchy–Euler
Conteúdo: equações equidimensionais (Euler–Cauchy). Vamos primeiro encontrar a solução geral da parte homogênea usando o ansatz
e depois buscar uma solução particular para o termo não-homogêneo
.
Passo 2
Equação homogênea associada:
Com
vem
Resolvendo
vemos que
é raiz simples e o quociente é
, cujas raízes são
Logo a solução homogênea é
Passo 3
Procuramos
tal que
Como
corresponde à raiz
da homogênea (multiplicidade 1), tentamos
Calculemos rapidamente
:
Substituindo em
dá
Assim
Passo 4
A solução geral é a soma da homogênea com a particular: