Questão 3: Resolva as seguintes equações de Euler-Cauchy:
x^{3} y^{\prime \prime \prime}+6 y=\frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Cauchy–Euler
x^{3}y''' + 6\,y = \frac{1}{x}.
Conteúdo: equações equidimensionais (Euler–Cauchy). Vamos primeiro encontrar a solução geral da parte homogênea usando o ansatz y=x^{m} e depois buscar uma solução particular para o termo não-homogêneo \tfrac1x.

Passo 2

Equação homogênea associada:
x^{3}y''' + 6\,y = 0.
Com y=x^{m} vem
x^{3}\bigl[m(m-1)(m-2)x^{m-3}\bigr] + 6\,x^{m} = 0 \quad\Longrightarrow\quad m(m-1)(m-2) + 6 = 0.
Resolvendo
m^{3}-3m^{2}+2m+6=0,
vemos que m=-1 é raiz simples e o quociente é m^{2}-4m+6, cujas raízes são
m = 2 \pm i\sqrt{2}.
Logo a solução homogênea é
y_{h}(x) = C_{1}\,x^{-1} + x^{2}\Bigl[C_{2}\cos\bigl(\sqrt{2}\,\ln x\bigr)+C_{3}\sin\bigl(\sqrt{2}\,\ln x\bigr)\Bigr].

Passo 3

Procuramos y_{p} tal que
x^{3}y_{p}''' + 6\,y_{p} = x^{-1}.
Como x^{-1} corresponde à raiz m=-1 da homogênea (multiplicidade 1), tentamos
y_{p}(x) = A\,x^{-1}\ln x.
Calculemos rapidamente y_{p}''':
y_{p}=\tfrac{A\,\ln x}{x},\quad y_{p}'=A\,\frac{1-\ln x}{x^{2}},\quad y_{p}''=A\,\frac{2\ln x-3}{x^{3}},\quad y_{p}'''=A\,\frac{11-6\ln x}{x^{4}}.
Substituindo em x^{3}y_{p}''' + 6y_{p}
x^{3}\cdot A\frac{11-6\ln x}{x^{4}} \;+\;6\cdot A\frac{\ln x}{x} = A\frac{11}{x} \stackrel{!}{=} \frac{1}{x} \;\Longrightarrow\;A=\frac{1}{11}.
Assim
y_{p}(x)=\frac{1}{11}\,x^{-1}\ln x.

Passo 4

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = C_{1}\,x^{-1} + x^{2}\Bigl[C_{2}\cos\bigl(\sqrt{2}\,\ln x\bigr)+C_{3}\sin\bigl(\sqrt{2}\,\ln x\bigr)\Bigr] + \frac{1}{11}\,x^{-1}\ln x.

Resposta

\boxed{y(x) = C_{1}\,x^{-1} + x^{2}\bigl[C_{2}\cos(\sqrt{2}\,\ln x)+C_{3}\sin(\sqrt{2}\,\ln x)\bigr] + \frac{1}{11}\,x^{-1}\ln x.}

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