Questão 3: Resolva as seguintes equações de Euler-Cauchy:
x^{3} y^{\prime \prime \prime}-3 x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}-y=x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler–Cauchy
x^{3}y'''-3x^{2}y''+3xy'-y = x^{2},
ou seja, é um EDO de terceira ordem com coeficientes variáveis do tipo x^{k}y^{(k)}. Para resolver usamos a troca de variável
t = \ln x,\quad Y(t)=y\bigl(e^{t}\bigr),
que transforma derivadas em x numa EDO de coeficientes constantes em t.

Passo 2

Calculamos as derivadas em função de t:
y' = \frac{1}{x}Y',\quad y''=\frac{1}{x^{2}}\bigl(Y''-Y'\bigr),\quad y'''=\frac{1}{x^{3}}\bigl(Y'''-3Y''+2Y'\bigr).
Substituindo em x^{3}y'''-3x^{2}y''+3xy'-y obtemos
\bigl(Y'''-3Y''+2Y'\bigr) -3\bigl(Y''-Y'\bigr) +3Y' -Y =Y'''-6Y''+8Y'-Y.
O termo fonte x^{2} vira e^{2t}. Logo a EDO em t é
Y'''-6Y''+8Y'-Y = e^{2t}.

Passo 3

A equação homogênea associada é
Y'''-6Y''+8Y'-Y=0,
com equação característica
r^{3}-6r^{2}+8r-1=0.
Denotando as raízes por r_{1},r_{2},r_{3}, a solução geral homogênea em t é
Y_{h}(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t}+C_{3}e^{r_{3}t}.
Voltando a x, isso equivale a
y_{h}(x)=C_{1}x^{r_{1}}+C_{2}x^{r_{2}}+C_{3}x^{r_{3}}.

Passo 4

Procuramos Y_{p}(t) da forma Ae^{2t} pois o lado direito é e^{2t}. Então
Y_{p}'=2Ae^{2t},\; Y_{p}''=4Ae^{2t},\; Y_{p}'''=8Ae^{2t}.
Substituindo em Y'''-6Y''+8Y'-Y
(8A-6\cdot4A+8\cdot2A-A)\,e^{2t} =(-A)\,e^{2t},
que deve igualar e^{2t}. Logo -A=1 e A=-1. Assim
Y_{p}(t)=-e^{2t} \quad\Longrightarrow\quad y_{p}(x)=-x^{2}.

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x) =C_{1}x^{r_{1}}+C_{2}x^{r_{2}}+C_{3}x^{r_{3}}-x^{2},
onde r_{1},r_{2},r_{3} são as três raízes reais de
r^{3}-6r^{2}+8r-1=0.

Resposta

\boxed{y(x)=C_{1}x^{r_{1}}+C_{2}x^{r_{2}}+C_{3}x^{r_{3}}-x^{2},}
com r_{1},r_{2},r_{3} raízes da característi-ca r^{3}-6r^{2}+8r-1=0.

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