Questão 3: Resolva as seguintes equações de Euler-Cauchy:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Euler–Cauchy
ou seja, é um EDO de terceira ordem com coeficientes variáveis do tipo
. Para resolver usamos a troca de variável
que transforma derivadas em
numa EDO de coeficientes constantes em
.
Passo 2
Calculamos as derivadas em função de
:
Substituindo em
obtemos
O termo fonte
vira
. Logo a EDO em
é
Passo 3
A equação homogênea associada é
com equação característica
Denotando as raízes por
, a solução geral homogênea em
é
Voltando a
, isso equivale a
Passo 4
Procuramos
da forma
pois o lado direito é
. Então
Substituindo em
dá
que deve igualar
. Logo
e
. Assim
Passo 5
A solução geral da equação não homogênea é
onde
são as três raízes reais de
Resposta
com
raízes da característi-ca
.