em que \phi_{n}(x) denota a solução da equação de Schrödinger independente do tempo para o n-ésimo estamo do oscilador harmônico.
(a) Se a energia é medida, quais valores podem ser encontrados e com quais probabilidades?
(b) Encontre o valor média da posição deste oscilador, isto é, \langle\hat{x}\rangle.
(c) Escreva a função de onde no tempo t qualquer.
onde \phi_{n}(x) são os autoestados do oscilador harmônico (ortogonais e normais). O enunciado faz três perguntas claras:
(a) Quais valores de energia podem ser obtidos se medirmos a energia, e com quais probabilidades?
(b) Qual é o valor médio da posição, isto é, \langle\hat{x}\rangle, para esse estado inicial?
(c) Escrever a função de onda em tempo arbitrário t, \Phi(x,t).
Informações relevantes dadas:
Coeficientes das componentes do estado nas bases \{\phi_0,\phi_1,\phi_2\}: c_0=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, c_1=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, c_2=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.
As funções \phi_n são autovetores da energia do oscilador harmônico.
Observação importante (prévia à resolução): os coeficientes apresentados não somam ao quadrado para 1 imediatamente; por isso será necessário verificar e normalizar corretamente o estado antes de calcular probabilidades e médias.
Passo 2
Normalização do estado: em mecânica quântica, se \Phi é expandido numa base ortonormal por coeficientes c_n, a probabilidade de encontrar o estado \phi_n é |c_n|^2 somente se \sum_n |c_n|^2=1. Vamos calcular a norma quadrática (soma das probabilidades não normalizadas):
Se o sistema está no estado \Psi(x,0)=\sum_n a_n\phi_n(x) com \sum_n |a_n|^2=1, a probabilidade de medir E_n é P_n=|a_n|^2. No nosso caso a_n são os coeficientes normalizados: a_n=N c_n com N=\sqrt{3}/2.
Como os a_n que usamos são reais e positivos no problema (após normalização), os termos não nulos virão dos pares (0,1),(1,0),(1,2),(2,1). Podemos agrupar usando que \langle n|\hat{x}|n+1\rangle é real e igual a \sqrt{\dfrac{\hbar}{2m\omega}}\sqrt{n+1}.
Passo 5
Cálculo explícito de \langle\hat{x}\rangle.
Defina
x_{0}\equiv\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}.
Usando os coeficientes originais c_0=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, c_1=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, c_2=\dfrac{1}{\sqrt{2}} e lembrando que deve dividir pelo fator S=4/3 se preferir trabalhar sem N, uma forma conveniente é:
Comentário didático: o valor médio de x não é zero porque o estado inicial é uma superposição que quebra a simetria par/ímpar (tem amplitudes em n=0,1,2); os termos cruzados entre n e n\pm1 produzem um deslocamento médio não nulo.
Passo 7
Parte (c) — evolução temporal da função de onda.
Teoria rápida (didática): autovetores de energia evoluem apenas por um fator de fase temporal \exp(-iE_n t/\hbar). Como \phi_n(x) são autovetores com energia E_n=\hbar\omega(n+\tfrac{1}{2}), a evolução para cada termo é multiplicar por \exp(-i\omega(n+\tfrac{1}{2})t). Usando a normalização já obtida, a função de onda em tempo t é
Mas a forma com os expoentes explícitos em cada termo é perfeitamente correta e mostra a evolução relativa de fases entre as componentes.
Resposta
(a) E_0=\dfrac{\hbar\omega}{2} com P_0=\dfrac{3}{8} ; E_1=\dfrac{3\hbar\omega}{2} com P_1=\dfrac{1}{4} ; E_2=\dfrac{5\hbar\omega}{2} com P_2=\dfrac{3}{8}.