Usando a técnica de integração por partes, calcule as integrais:
I=\int x^{2} e^{k x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida I=\int x^{2} e^{k x}\,dx.
Informações dadas: a função a integrar é x^{2} e^{k x} e k é um parâmetro constante (pode ser positivo, negativo ou zero). A resposta deve ser uma primitiva (integral indefinida) e incluir a constante de integração C. Neste passo não vamos resolver ainda, apenas deixamos claro o que é pedido.

Passo 2

Vamos usar a fórmula de integração por partes. A fórmula diz o seguinte: se u e v são funções diferenciáveis, então
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui u é uma função que escolhemos para derivar (calculamos du) e dv é a parte que escolhemos para integrar (calculamos v=\int dv). A ideia é escolher u de modo que ao derivá-la a expressão simplifique, e dv de modo que possamos integrar facilmente.
Para a nossa integral, uma escolha natural é u = x^{2} (porque ao derivar fica algo mais simples) e dv = e^{k x}\,dx (porque sabemos integrar exponenciais com facilidade). Agora calculemos du e v.
Derivando u:
u = x^{2}\quad\Rightarrow\quad du = 2x\,dx.
Integrando dv:
dv = e^{k x}\,dx\quad\Rightarrow\quad v = \int e^{k x}\,dx.
Como k é constante, \int e^{k x}\,dx = \dfrac{1}{k}e^{k x} desde que k\neq 0. (Se k=0, e^{k x}=1 e esse caso será tratado separadamente.)

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes com as escolhas acima (assumindo primeiro k\neq 0):
I=\int x^{2} e^{k x}\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u=x^{2}, v=\dfrac{1}{k}e^{k x} e du=2x\,dx, obtemos
I = x^{2}\cdot\frac{1}{k}e^{k x} - \int \frac{1}{k}e^{k x}\cdot 2x\,dx.
Simplificando o fator constante:
I = \frac{1}{k}x^{2}e^{k x} - \frac{2}{k}\int x e^{k x}\,dx.
Então reduzimos o problema a calcular a integral
J=\int x e^{k x}\,dx.

Passo 4

Vamos calcular J=\int x e^{k x}\,dx também por partes, com escolha natural u=x e dv=e^{k x}\,dx. Então:
u = x \quad\Rightarrow\quad du = dx,
dv = e^{k x}\,dx \quad\Rightarrow\quad v = \frac{1}{k}e^{k x}\quad (\text{novamente para }k\neq 0).
Aplicando a fórmula:
J = u v - \int v\,du = x\cdot\frac{1}{k}e^{k x} - \int \frac{1}{k}e^{k x}\,dx.
Integrando a última parte:
\int \frac{1}{k}e^{k x}\,dx = \frac{1}{k}\cdot\frac{1}{k}e^{k x} = \frac{1}{k^{2}}e^{k x}.
Logo
J = \frac{1}{k}x e^{k x} - \frac{1}{k^{2}}e^{k x}.

Passo 5

Substituímos J em I. Lembrando que
I = \frac{1}{k}x^{2}e^{k x} - \frac{2}{k}J,
substituindo J temos
I = \frac{1}{k}x^{2}e^{k x} - \frac{2}{k}\left(\frac{1}{k}x e^{k x} - \frac{1}{k^{2}}e^{k x}\right).
Agora simplificamos termo a termo. Primeiro multiplicando o -\dfrac{2}{k}:
I = \frac{1}{k}x^{2}e^{k x} - \frac{2}{k^{2}}x e^{k x} + \frac{2}{k^{3}}e^{k x}.
Agrupando e^{k x} em evidência (opcional, só para organizar):
I = e^{k x}\left(\frac{1}{k}x^{2} - \frac{2}{k^{2}}x + \frac{2}{k^{3}}\right) + C,
onde C é a constante de integração.
Podemos também reescrever fatorando \dfrac{1}{k^{3}}:
I = \frac{e^{k x}}{k^{3}}\left(k^{2}x^{2} - 2kx + 2\right) + C.

Passo 6

Tratamento do caso k=0: se k=0 então a integral original vira
I=\int x^{2}e^{0\cdot x}\,dx=\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}+C.
Portanto precisamos apresentar ambas as formas: a geral para k\neq 0 e a especial para k=0.

Resposta

\displaystyle I=\begin{cases} \dfrac{e^{k x}}{k^{3}}\left(k^{2}x^{2}-2kx+2\right)+C, & \text{se }k\neq 0,\\[6pt] \dfrac{x^{3}}{3}+C, & \text{se }k=0. \end{cases}]

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