Usando a técnica de integração por partes, calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
.
Informações dadas: a função a integrar é e
é um parâmetro constante (pode ser positivo, negativo ou zero). A resposta deve ser uma primitiva (integral indefinida) e incluir a constante de integração
. Neste passo não vamos resolver ainda, apenas deixamos claro o que é pedido.
Informações dadas: a função a integrar é
Passo 2
Vamos usar a fórmula de integração por partes. A fórmula diz o seguinte: se
e
são funções diferenciáveis, então
Aqui
é uma função que escolhemos para derivar (calculamos
) e
é a parte que escolhemos para integrar (calculamos
). A ideia é escolher
de modo que ao derivá-la a expressão simplifique, e
de modo que possamos integrar facilmente.
Para a nossa integral, uma escolha natural é
(porque ao derivar fica algo mais simples) e
(porque sabemos integrar exponenciais com facilidade). Agora calculemos
e
.
Derivando
:
Integrando
:
Como
é constante,
desde que
. (Se
,
e esse caso será tratado separadamente.)
Passo 3
Aplicando a fórmula de integração por partes com as escolhas acima (assumindo primeiro
):
Substituindo
,
e
, obtemos
Simplificando o fator constante:
Então reduzimos o problema a calcular a integral
Passo 4
Vamos calcular
também por partes, com escolha natural
e
. Então:
Aplicando a fórmula:
Integrando a última parte:
Logo
Passo 5
Substituímos
em
. Lembrando que
substituindo
temos
Agora simplificamos termo a termo. Primeiro multiplicando o
:
Agrupando
em evidência (opcional, só para organizar):
onde
é a constante de integração.
Podemos também reescrever fatorando
:
Passo 6
Tratamento do caso
: se
então a integral original vira
Portanto precisamos apresentar ambas as formas: a geral para
e a especial para
.