Sabendo que a dimensão física de Energia é
[E]=\frac{[M][L]^{2}}{[T]^{2}},
Faça, agora, a análise dimensional dessa mesma constante utilizando a expressão da Força de Hooke,
F_{\mathrm{el} .}=-k \Delta x .

Passo 1

O enunciado nos dá a dimensão física da energia
[E]=\frac{[M][L]^{2}}{[T]^{2}}
e pede a análise dimensional da constante elástica k na lei de Hooke
F_{\mathrm{el}}=-k\,\Delta x.
Para isso vamos usar a relação entre energia, força e deslocamento e depois aplicar F=k\,\Delta x.

Passo 2

Sabendo que o trabalho (energia) realizado por uma força F ao deslocar-se \Delta x é
E = F\,\Delta x,
podemos escrever em termos de dimensões
[E]=[F]\,[L].
Logo,
[F]=\frac{[E]}{[L]} =\frac{[M][L]^{2}/[T]^{2}}{[L]} =[M][L][T]^{-2}.

Passo 3

A lei de Hooke diz que
F_{\mathrm{el}}=k\,\Delta x
ou seja,
[k]=\frac{[F]}{[L]} =\frac{[M][L][T]^{-2}}{[L]} =[M][T]^{-2}.

Resposta

[k]=[M][T]^{-2}.

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