Questão 1
Estudar a convergência da série
\sum_{n=1} \frac{(\operatorname{sen} n)^{3}}{4^{n}}

Passo 1

O enunciado pede estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^\infty \frac{(\sin n)^3}{4^n}.
Trata-se de uma série numérica; vamos verificar a convergência absoluta usando o teste da raiz.

Passo 2

Defina
a_n = \frac{(\sin n)^3}{4^n}.
Pelo teste da raiz, calculamos
\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \limsup_{n\to\infty} \bigl|(\sin n)^3\bigr|^{1/n}\,\frac{1}{4}.
Como \lvert\sin n\rvert\le1 implica \lvert\sin n\rvert^{3/n}\to1, obtemos
\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \frac{1}{4} < 1.
Logo, a série converge absolutamente.

Passo 3

Convergência absoluta implica convergência da série original.

Resposta

A série converge absolutamente e, portanto, converge.

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