Questão 3

Seja f a função definida por f(x)=\frac{x}{4-x} para todo x.
Calcular f^{(270)}(0).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ordem 270 de f(x)=\frac{x}{4-x} avaliada em x=0. O conteúdo que vamos usar é a expansão em série de potências (série de Maclaurin) e a relação entre coeficiente de série e derivada em zero.

Passo 2

Reescrevemos f(x) de modo a identificar uma forma de série geométrica. Note que
f(x)=\frac{x}{4-x} =\frac{x}{4}\,\frac{1}{1-\frac{x}{4}}.

Passo 3

Usamos a série geométrica para \frac{1}{1-t} válida para |t|<1:
\frac{1}{1-t}=\sum_{k=0}^{\infty}t^{k}.
Aqui tomamos t=\frac{x}{4}, logo
\frac{1}{1-\frac{x}{4}} =\sum_{k=0}^{\infty}\Bigl(\frac{x}{4}\Bigr)^{k} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{4^{k}}.

Passo 4

Multiplicando por \tfrac{x}{4}, obtemos a série de Maclaurin de f:
f(x) =\frac{x}{4}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{4^{k}} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k+1}}{4^{k+1}} =\sum_{m=1}^{\infty}\frac{x^{m}}{4^{m}}.
Nesse somatório, o coeficiente de x^{m} é
a_{m}=\frac{1}{4^{m}}.

Passo 5

Para uma função representada por \displaystyle f(x)=\sum_{m=0}^\infty a_{m}x^{m}, vale
f^{(n)}(0)=n!\,a_{n}.
No nosso caso, a_{0}=0 e para n\ge1, a_{n}=4^{-n}. Assim,
f^{(270)}(0) =270!\,\frac{1}{4^{270}} =\frac{270!}{4^{270}}.

Resposta

\frac{270!}{4^{270}}.

Exercícios relacionados