Questão 3
Seja
a função definida por
para todo
.
Calcular
.
Calcular
Passo 1
O enunciado pede a derivada de ordem 270 de
avaliada em
. O conteúdo que vamos usar é a expansão em série de potências (série de Maclaurin) e a relação entre coeficiente de série e derivada em zero.
Passo 2
Reescrevemos
de modo a identificar uma forma de série geométrica. Note que
Passo 3
Usamos a série geométrica para
válida para
:
Aqui tomamos
, logo
Passo 4
Multiplicando por
, obtemos a série de Maclaurin de
:
Nesse somatório, o coeficiente de
é
Passo 5
Para uma função representada por
, vale
No nosso caso,
e para
,
. Assim,