Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função crescente cujo gráfico de x=0 até x=a tem comprimento igual a |a| \sqrt{2} para todo a \in \mathbb{R} e tal que f(-3)=0. Determine o valor de f(0)-f^{\prime}(2)+2 f(5)
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado define uma função crescente f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} tal que, para todo a\in\mathbb{R}, o comprimento do gráfico de x=0 até x=a vale \lvert a\rvert\sqrt{2}. Além disso, sabemos que f(-3)=0. O conteúdo principal é usar a fórmula de comprimento de arco e relacioná-la à condição dada para determinar f e então calcular f(0)-f'(2)+2f(5).

Passo 2

O comprimento de arco de x=0 até x=a é dado por
L(a)=\int_{0}^{a}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\;dx.
Pela hipótese,
L(a)=\lvert a\rvert\sqrt{2}.
Para a>0 temos L(a)=a\sqrt{2}. Diferenciando ambos os lados em relação a a, obtenhamos
\frac{d}{da}L(a)=\sqrt{1+\bigl(f'(a)\bigr)^{2}} \quad\text{e}\quad \frac{d}{da}\bigl(a\sqrt{2}\bigr)=\sqrt{2}.
Logo,
\sqrt{1+\bigl(f'(a)\bigr)^{2}}=\sqrt{2}.

Passo 3

Da igualdade \sqrt{1+(f'(a))^{2}}=\sqrt{2} segue
1+\bigl(f'(a)\bigr)^{2}=2 \quad\Longrightarrow\quad \bigl(f'(a)\bigr)^{2}=1.
Como f é crescente, f'(a)\ge0, portanto f'(a)=1 para todo a.

Passo 4

Integrando f'(x)=1, obtemos
f(x)=x+C
para constante C. Usando f(-3)=0, temos
-3 + C = 0 \quad\Longrightarrow\quad C=3.
Assim,
f(x)=x+3.

Passo 5

Calculemos agora cada termo:
f(0)=0+3=3, \quad f'(2)=1, \quad f(5)=5+3=8.
Logo,
f(0)-f'(2)+2f(5) =3 - 1 + 2\cdot 8 =3 - 1 + 16 =18.

Resposta

18

Exercícios relacionados