Seja
uma função crescente cujo gráfico de
até
tem comprimento igual a
para todo
e tal que
. Determine o valor de
Resposta:
Passo 1
O enunciado define uma função crescente
tal que, para todo
, o comprimento do gráfico de
até
vale
. Além disso, sabemos que
. O conteúdo principal é usar a fórmula de comprimento de arco e relacioná-la à condição dada para determinar
e então calcular
.
Passo 2
O comprimento de arco de
até
é dado por
Pela hipótese,
Para
temos
. Diferenciando ambos os lados em relação a
, obtenhamos
Logo,
Passo 3
Da igualdade
segue
Como
é crescente,
, portanto
para todo
.
Passo 4
Integrando
, obtemos
para constante
. Usando
, temos
Assim,
Passo 5
Calculemos agora cada termo:
Logo,