Questão 2(5,0). Um estudo foi realizado para identificar o modelo que melhor representa a relação entre a variável resposta vazão mínima média ( m^3 / s ) e as possíveis preditoras declividade de drenagem ( m / km ) e densidade de drenagem (junções / km^2 ). O primeiro modelo a ser testado é o modelo de regressão linear múltipla. Os dados observados em 15 estações fluviométricas da bacia do rio Paraopeba são apresentados na tabela abaixo.
Estação (j) Vazão mínima média (Y) Declividade de drenagem ( |l|l|l|l|l|l|l|l|l|l| hline Estação (j) & Vazão mínima média (Y) & Declividade de drena>=m ( $X1$ ) & Densidade de drena>=m ( $X2$ ) & $Y^2$ & $X1 ^2$ & $X2 ^2$ & YX $ 1$ & YX 2 & $X1 X2$ hline 1 & 2,60 & 2,69 & 0,098 & 6,76 & 7,24 & 0,010 & 6,99 & 0,25 & 0,264 hline 2 & 1,49 & 3,94 & 0,079 & 2,22 & 15,52 & 0,006 & 5,87 & 0,12 & 0,311 hline 3 & 1,43 & 7,20 & 0,119 & 2,04 & 51,84 & 0,014 & 10,30 & 0,17 & 0,857 hline 4 & 3,44 & 3,18 & 0,102 & 11,83 & 10,11 & 0,010 & 10,94 & 0,35 & 0,324 hline 5 & 1,37 & 2,44 & 0,123 & 1,88 & 5,95 & 0,015 & 3,34 & 0,17 & 0,300 hline 6 & 2,53 & 1,25 & 0,136 & 6,40 & 1,56 & 0,018 & 3,16 & 0,34 & 0,170 hline 7 & 15,12 & 1,81 & 0,121 & 228,61 & 3,28 & 0,015 & 27,37 & 1,83 & 0,219 hline 8 & 16,21 & 1,59 & 0,137 & 262,76 & 2,53 & 0,019 & 25,77 & 2,22 & 0,218 hline 9 & 21,16 & 1,21 & 0,134 & 447,75 & 1,46 & 0,018 & 25,60 & 2,84 & 0,162 hline 10 & 30,26 & 1,08 & 0,018 & 915,67 & 1,17 & 0,000 & 32,68 & 0,54 & 0,019 hline 11 & 28,53 & 1,00 & 0,141 & 813,96 & 1,00 & 0,020 & 28,53 & 4,02 & 0,141 hline 12 & 1,33 & 4,52 & 0,064 & 1,77 & 20,43 & 0,004 & 6,01 & 0,09 & 0,289 hline 13 & 0,43 & 10,27 & 0,131 & 0,18 & 105,47 & 0,017 & 4,42 & 0,06 & 1,345 hline 14 & 39,12 & 0,66 & 0,143 & 1530,37 & 0,44 & 0,020 & 25,82 & 5,59 & 0,094 hline 15 & 45,00 & 0,60 & 0,133 & 2025,00 & 0,36 & 0,018 & 27,00 & 5,99 & 0,080 hline Soma & 210,02 & 43,44 & 1,679 & 6257,22 & 228,36 & 0,205 & 243,81 & 24,58 & 4,794 hline Média & 14,00 & 2,896 & 0,1119 & & & & & & hline ) Densidade de drenagem ( X1 ) X2 Y X1 YX X2 YX 2 X1
1 2,60 2,69 0,098 6,76 7,24 0,010 6,99 0,25 0,264
2 1,49 3,94 0,079 2,22 15,52 0,006 5,87 0,12 0,311
3 1,43 7,20 0,119 2,04 51,84 0,014 10,30 0,17 0,857
4 3,44 3,18 0,102 11,83 10,11 0,010 10,94 0,35 0,324
5 1,37 2,44 0,123 1,88 5,95 0,015 3,34 0,17 0,300
6 2,53 1,25 0,136 6,40 1,56 0,018 3,16 0,34 0,170
7 15,12 1,81 0,121 228,61 3,28 0,015 27,37 1,83 0,219
8 16,21 1,59 0,137 262,76 2,53 0,019 25,77 2,22 0,218
9 21,16 1,21 0,134 447,75 1,46 0,018 25,60 2,84 0,162
10 30,26 1,08 0,018 915,67 1,17 0,000 32,68 0,54 0,019
11 28,53 1,00 0,141 813,96 1,00 0,020 28,53 4,02 0,141
12 1,33 4,52 0,064 1,77 20,43 0,004 6,01 0,09 0,289
13 0,43 10,27 0,131 0,18 105,47 0,017 4,42 0,06 1,345
14 39,12 0,66 0,143 1530,37 0,44 0,020 25,82 5,59 0,094
15 45,00 0,60 0,133 2025,00 0,36 0,018 27,00 5,99 0,080
Soma 210,02 43,44 1,679 6257,22 228,36 0,205 243,81 24,58 4,794
Média 14,00 2,896 0,1119
a) Estime os parâmetros da equação de regressão linear múltipla que relacione a vazão mínima média, Y , com a declividade, Y, e a densidade de drenagem, X1, X2.
b) Na relação linear entre a variável X1 e as variáveis X2 e , obtida na questão anterior, explique o significado da estimativa do coeficiente de regressão parcial correspondente a .
c) Efetue a análise da variância e o teste F para a hipótese geral de linearidade da relação entre e ( ).
d) Calcule o coeficiente de determinação corrigido e explique o seu significado.
e) Para a equação de regressão considerada no item a, teste as hipóteses parciais.
f) Considerando os resultados do item e, qual das variáveis explanatórias, e , você escolheria, se tivesse que expressar vazão mínima média através de uma equação de regressão linear simples. Seria, nesse caso, razoável a utilização de uma equação com apenas uma das variáveis preditoras?

Passo 1

O enunciado pede para ajustar um modelo de regressão linear múltipla relacionando a vazão mínima média Y com a declividade de drenagem X1 e a densidade de drenagem X2. Vamos usar as somas fornecidas na tabela para calcular médias, somas de quadrados e somas de produtos, aplicar as equações normais e depois fazer a análise de variância, os testes F e t e calcular o R^2 ajustado.

Passo 2

Calcular as médias e as somas de quadrados e produtos centrados. Primeiro as médias:
bar Y=210,0215=14,00, bar X1=43,4415=2,896, bar X2=1,67915=0,11193

Passo 3

As somas centradas são
SX1X1=sum X1^2- nbar X1^2=228,36-15(2,896)^2=102,555,
SX2X2=0,205-15(0,11193)^2=0,017035,
SX1X2=4,794-15(2,896)(0,11193)=-0,0762,
SX1Y=243,81-15(14)(2,896)=-364,35,
SX2Y=24,58-15(14)(0,11193)=1,0747

Passo 4

Usando as fórmulas dos coeficientes:
beta1=SX1Y,SX2X2-SX2Y,SX1X2SX1X1,SX2X2-SX1X2^2, beta2=SX1X1,SX2Y-SX1Y,SX1X2SX1X1,SX2X2-SX1X2^2

Passo 5

O denominador comum é
D=102,555times0,017035-(-0,0762)^2=1,74229

Passo 6

Cálculo de beta1 e beta2:
beta1=(-364,35)(0,017035)-1,0747(-0,0762)1,74229=-3,52,
beta2=102,555(1,0747)-(-364,35)(-0,0762)1,74229=47,37

Passo 7

O intercepto beta0 é
beta0=bar Y-beta1bar X1-beta2bar X2=14-(-3,52)(2,896)-47,37(0,11193)=18,89

Passo 8

O modelo ajustado fica:
hat Y=18,89-3,52,X1+47,37,X2

Passo 9

O coeficiente de regressão parcial beta1=-3,52 significa que, mantendo a densidade de drenagem X2 constante, um aumento de uma unidade em X1 (declividade) reduz em média 3,52 m³/s a vazão mínima média.

Passo 10

Para a ANOVA precisamos de
SST=sum Y^2-nbar Y^2=6257,22-15(14)^2=3317,22,
SSR=beta1SX1Y+beta2SX2Y=(-3,52)(-364,35)+47,37(1,0747)=1332,11,
SSE=SST-SSR=1985,11

Passo 11

As médias dos quadrados e o teste F:
MSR=1332,112=666,055, MSE=1985,1112=165,426,
F=MSRMSE=666,055165,426=4,03

Passo 12

Com grau de liberdade (2,12) e nível 5%, o valor crítico é F0,05;2,12approx3,89, logo rejeitamos a hipótese nula e concluímos que o modelo é globalmente significativo.

Passo 13

O coeficiente de determinação ajustado é
R^2=1332,113317,22=0,401,
R^2aj=1-SSE/(n-p)SST/(n-1)=1-1985,11/123317,22/14=0,302

Passo 14

Significa que, ajustando-se o número de variáveis, cerca de 30,2% da variabilidade de Y é explicada pelo modelo.

Passo 15

Para os testes parciais usamos
Var(beta1)=MSESX2X2D, Var(beta2)=MSESX1X1D

Passo 16

Calculando os erros-padrão:
SE(beta1)=raiz165,4260,0170351,74229=1,27, SE(beta2)=raiz165,426102,5551,74229=98,7

Passo 17

Os valores t são
t1=-3,521,27=-2,77, t2=47,3798,7=0,48

Passo 18

Com t0,025;12=2,18, rejeitamos H0:beta1=0 e não rejeitamos H0:beta2=0.
Como apenas X1 é significativo, se fôssemos usar um modelo de regressão simples escolheríamos X1, pois X2 não mostra contribuição estatisticamente significativa.

Resposta

a) hat Y=18,89-3,52,X1+47,37,X2.
b) beta1=-3,52 é a variação média em Y para cada aumento de 1 unidade em X1, mantendo X2 fixo.
c) F=4,03>3,89, rejeita-se a hipótese de linearidade nula: o modelo é significativo.
d) R^2aj=0,302, ou seja, ~30,2% da variabilidade de Y é explicada pelo modelo ajustado.
e) Testes t parciais: t1=-2,77 (significativo), t2=0,48 (não significativo).
f) Escolheríamos X1 para um modelo simples, pois X2 não é estatisticamente relevante.

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