Questão
. Um estudo foi realizado para identificar o modelo que melhor representa a relação entre a variável resposta vazão mínima média (
) e as possíveis preditoras declividade de drenagem (
) e densidade de drenagem (junções
). O primeiro modelo a ser testado é o modelo de regressão linear múltipla. Os dados observados em 15 estações fluviométricas da bacia do rio Paraopeba são apresentados na tabela abaixo.
Estação (j)
Vazão mínima média (Y)
Declividade de drenagem (
)
Densidade de drenagem (
)
YX
YX 2
1
2,60
2,69
0,098
6,76
7,24
0,010
6,99
0,25
0,264
2
1,49
3,94
0,079
2,22
15,52
0,006
5,87
0,12
0,311
3
1,43
7,20
0,119
2,04
51,84
0,014
10,30
0,17
0,857
4
3,44
3,18
0,102
11,83
10,11
0,010
10,94
0,35
0,324
5
1,37
2,44
0,123
1,88
5,95
0,015
3,34
0,17
0,300
6
2,53
1,25
0,136
6,40
1,56
0,018
3,16
0,34
0,170
7
15,12
1,81
0,121
228,61
3,28
0,015
27,37
1,83
0,219
8
16,21
1,59
0,137
262,76
2,53
0,019
25,77
2,22
0,218
9
21,16
1,21
0,134
447,75
1,46
0,018
25,60
2,84
0,162
10
30,26
1,08
0,018
915,67
1,17
0,000
32,68
0,54
0,019
11
28,53
1,00
0,141
813,96
1,00
0,020
28,53
4,02
0,141
12
1,33
4,52
0,064
1,77
20,43
0,004
6,01
0,09
0,289
13
0,43
10,27
0,131
0,18
105,47
0,017
4,42
0,06
1,345
14
39,12
0,66
0,143
1530,37
0,44
0,020
25,82
5,59
0,094
15
45,00
0,60
0,133
2025,00
0,36
0,018
27,00
5,99
0,080
Soma
210,02
43,44
1,679
6257,22
228,36
0,205
243,81
24,58
4,794
Média
14,00
2,896
0,1119
a) Estime os parâmetros da equação de regressão linear múltipla que relacione a vazão mínima média, Y , com a declividade,
, e a densidade de drenagem,
.
b) Na relação linear entre a variável
e as variáveis
e
, obtida na questão anterior, explique o significado da estimativa do coeficiente de regressão parcial correspondente a
.
c) Efetue a análise da variância e o teste F para a hipótese geral de linearidade da relação entre
e (
).
d) Calcule o coeficiente de determinação corrigido e explique o seu significado.
e) Para a equação de regressão considerada no item a, teste as hipóteses parciais.
f) Considerando os resultados do item e, qual das variáveis explanatórias,
e
, você escolheria, se tivesse que expressar vazão mínima média através de uma equação de regressão linear simples. Seria, nesse caso, razoável a utilização de uma equação com apenas uma das variáveis preditoras?
Estação (j) | Vazão mínima média (Y) | Declividade de drenagem (
|
Densidade de drenagem (
|
|
|
|
YX
|
YX 2 |
|
1 | 2,60 | 2,69 | 0,098 | 6,76 | 7,24 | 0,010 | 6,99 | 0,25 | 0,264 |
2 | 1,49 | 3,94 | 0,079 | 2,22 | 15,52 | 0,006 | 5,87 | 0,12 | 0,311 |
3 | 1,43 | 7,20 | 0,119 | 2,04 | 51,84 | 0,014 | 10,30 | 0,17 | 0,857 |
4 | 3,44 | 3,18 | 0,102 | 11,83 | 10,11 | 0,010 | 10,94 | 0,35 | 0,324 |
5 | 1,37 | 2,44 | 0,123 | 1,88 | 5,95 | 0,015 | 3,34 | 0,17 | 0,300 |
6 | 2,53 | 1,25 | 0,136 | 6,40 | 1,56 | 0,018 | 3,16 | 0,34 | 0,170 |
7 | 15,12 | 1,81 | 0,121 | 228,61 | 3,28 | 0,015 | 27,37 | 1,83 | 0,219 |
8 | 16,21 | 1,59 | 0,137 | 262,76 | 2,53 | 0,019 | 25,77 | 2,22 | 0,218 |
9 | 21,16 | 1,21 | 0,134 | 447,75 | 1,46 | 0,018 | 25,60 | 2,84 | 0,162 |
10 | 30,26 | 1,08 | 0,018 | 915,67 | 1,17 | 0,000 | 32,68 | 0,54 | 0,019 |
11 | 28,53 | 1,00 | 0,141 | 813,96 | 1,00 | 0,020 | 28,53 | 4,02 | 0,141 |
12 | 1,33 | 4,52 | 0,064 | 1,77 | 20,43 | 0,004 | 6,01 | 0,09 | 0,289 |
13 | 0,43 | 10,27 | 0,131 | 0,18 | 105,47 | 0,017 | 4,42 | 0,06 | 1,345 |
14 | 39,12 | 0,66 | 0,143 | 1530,37 | 0,44 | 0,020 | 25,82 | 5,59 | 0,094 |
15 | 45,00 | 0,60 | 0,133 | 2025,00 | 0,36 | 0,018 | 27,00 | 5,99 | 0,080 |
Soma | 210,02 | 43,44 | 1,679 | 6257,22 | 228,36 | 0,205 | 243,81 | 24,58 | 4,794 |
Média | 14,00 | 2,896 | 0,1119 |
b) Na relação linear entre a variável
c) Efetue a análise da variância e o teste F para a hipótese geral de linearidade da relação entre
d) Calcule o coeficiente de determinação corrigido e explique o seu significado.
e) Para a equação de regressão considerada no item a, teste as hipóteses parciais.
f) Considerando os resultados do item e, qual das variáveis explanatórias,
Passo 1
O enunciado pede para ajustar um modelo de regressão linear múltipla relacionando a vazão mínima média
com a declividade de drenagem
e a densidade de drenagem
. Vamos usar as somas fornecidas na tabela para calcular médias, somas de quadrados e somas de produtos, aplicar as equações normais e depois fazer a análise de variância, os testes F e t e calcular o
ajustado.
Passo 2
Calcular as médias e as somas de quadrados e produtos centrados. Primeiro as médias:
Passo 3
As somas centradas são
Passo 4
Usando as fórmulas dos coeficientes:
Passo 5
O denominador comum é
Passo 6
Cálculo de
e
:
Passo 7
O intercepto
é
Passo 8
O modelo ajustado fica:
Passo 9
O coeficiente de regressão parcial
significa que, mantendo a densidade de drenagem
constante, um aumento de uma unidade em
(declividade) reduz em média 3,52 m³/s a vazão mínima média.
Passo 10
Para a ANOVA precisamos de
Passo 11
As médias dos quadrados e o teste F:
Passo 12
Com grau de liberdade (2,12) e nível 5%, o valor crítico é
, logo rejeitamos a hipótese nula e concluímos que o modelo é globalmente significativo.
Passo 13
O coeficiente de determinação ajustado é
Passo 14
Significa que, ajustando-se o número de variáveis, cerca de 30,2% da variabilidade de
é explicada pelo modelo.
Passo 15
Para os testes parciais usamos
Passo 16
Calculando os erros-padrão:
Passo 17
Os valores t são
Passo 18
Com
, rejeitamos
e não rejeitamos
.
Como apenas é significativo, se fôssemos usar um modelo de regressão simples escolheríamos
, pois
não mostra contribuição estatisticamente significativa.
Como apenas
Resposta
a)
.
b) é a variação média em
para cada aumento de 1 unidade em
, mantendo
fixo.
c) , rejeita-se a hipótese de linearidade nula: o modelo é significativo.
d) , ou seja, ~30,2% da variabilidade de
é explicada pelo modelo ajustado.
e) Testes t parciais: (significativo),
(não significativo).
f) Escolheríamos para um modelo simples, pois
não é estatisticamente relevante.
b)
c)
d)
e) Testes t parciais:
f) Escolheríamos