Questão 3. (Exatas) Verifique se são EDOs exatas e resolva:
t y^4+(2 x^2 y^3+3 y^5-20 y^3) y^prime=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
t,y^4 + l(2,t^2y^3 + 3,y^5 - 20,y^3r),y' = 0
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral. O conteúdo necessário é o teste de exatidão para EDOs da forma
M(t,y),dt + N(t,y),dy = 0,
seguido da construção de uma função potencial F(t,y) tal que partial F/partial t = M e partial F/partial y = N.

Passo 2

Reescrevendo em forma diferencial, temos
M(t,y) = t,y^4, N(t,y) = 2,t^2y^3 + 3,y^5 - 20,y^3,
de modo que a EDO fica
M(t,y),dt + N(t,y),dy = 0

Passo 3

Teste de exatidão: calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y = partialpartial yl(t,y^4r) = 4,t,y^3,
partial Npartial t = partialpartial tl(2,t^2y^3 + 3,y^5 - 20,y^3r) = 4,t,y^3
Como partial M/partial y = partial N/partial t, a equação é exata.

Passo 4

Como é exata, existe uma função F(t,y) tal que
partial Fpartial t = M(t,y) = t,y^4
Integrando em relação a t e tratando y como constante, obtém-se
F(t,y) = integral t,y^4,dt = tfrac12,t^2y^4 + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 5

Agora impomos
partial Fpartial y = 2,t^2y^3 + h'(y) = N(t,y) = 2,t^2y^3 + 3,y^5 - 20,y^3
Da igualdade segue
h'(y) = 3,y^5 - 20,y^3
Integrando em y:
h(y) = integral l(3,y^5 - 20,y^3r),dy = tfrac12,y^6 - 5,y^4 + C

Passo 6

Substituindo h(y) em F(t,y), obtemos a função potencial completa
F(t,y) = tfrac12,t^2y^4 + tfrac12,y^6 - 5,y^4
A solução geral da EDO exata é dada implicitamente por
F(t,y) = C1,
onde C1 é constante arbitrária.

Resposta

tfrac12,t^2y^4 + tfrac12,y^6 - 5,y^4 = C
Ou equivalentemente,
t^2y^4 + y^6 - 10,y^4 = C'

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