Questão 3. (Exatas) Verifique se são EDOs exatas e resolva:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral. O conteúdo necessário é o teste de exatidão para EDOs da forma
seguido da construção de uma função potencial
tal que
e
.
Passo 2
Reescrevendo em forma diferencial, temos
de modo que a EDO fica
Passo 3
Teste de exatidão: calculamos as derivadas parciais
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Como é exata, existe uma função
tal que
Integrando em relação a
e tratando
como constante, obtém-se
onde
é uma função a determinar.
Passo 5
Agora impomos
Da igualdade segue
Integrando em
:
Passo 6
Substituindo
em
, obtemos a função potencial completa
A solução geral da EDO exata é dada implicitamente por
onde
é constante arbitrária.
Resposta
Ou equivalentemente,