_ Questão 3. Dê exemplo, por meio de um gráfico, de uma função
definida, definida e derivável em
, tal que
para
para
e
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente criar um exemplo de função que seja definida e derivável em todos os números reais (ou seja, em
). Além disso, essa função precisa ter a derivada positiva quando
for menor que 0, negativa entre 0 e 2, e novamente positiva quando
for maior que 2. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de derivadas, para construir essa função e desenhar seu gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que a derivada nos diz sobre uma função. A derivada
de uma função
indica a taxa de variação da função em relação a
. Se
, a função está aumentando; se
, está diminuindo.
Passo 3
Queremos que a derivada seja positiva para
. Isso significa que a função deve estar aumentando nessa região. Podemos escolher, por exemplo, uma função polinomial que tenha esse comportamento.
Passo 4
Para
, a derivada deve ser negativa, ou seja, a função deve estar diminuindo. Isso implica que a função deve ter um ponto de máximo em
ou entre 0 e 2.
Passo 5
Para
, novamente, a derivada deve ser positiva, indicando que a função está aumentando nessa região. Isso sugere que há um ponto de mínimo em
.
Passo 6
Uma função que atende a esses critérios pode ser construída a partir de uma função cúbica, que permite ter mudanças de concavidade e pontos de inflexão. Por exemplo:
Passo 7
Vamos verificar a derivada dessa função:
Passo 8
Vamos analisar os sinais de
:
- Para
:
Como
,
é positivo e
também é positivo, então
.
-
Para
: Aqui,é positivo, mas é negativo, então . -
Para
: Tantoquanto são positivos, então .
Passo 9
Portanto, a função
atende a todas as condições do enunciado. O gráfico dessa função terá um aumento para
, um decréscimo entre 0 e 2, e novamente um aumento para
.
Resposta
Um exemplo de função que atende às condições é
. O gráfico dessa função é crescente para
, decrescente entre
e crescente novamente para
.