_ Questão 3. Dê exemplo, por meio de um gráfico, de uma função f definida, definida e derivável em R, tal que f^prime(x)>0 para x<0, f^prime(x)<0 para 0<x<2 e f^prime(x)>0 para x>2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente criar um exemplo de função que seja definida e derivável em todos os números reais (ou seja, em R). Além disso, essa função precisa ter a derivada positiva quando x for menor que 0, negativa entre 0 e 2, e novamente positiva quando x for maior que 2. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de derivadas, para construir essa função e desenhar seu gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que a derivada nos diz sobre uma função. A derivada f'(x) de uma função f(x) indica a taxa de variação da função em relação a x. Se f'(x) > 0, a função está aumentando; se f'(x) < 0, está diminuindo.

Passo 3

Queremos que a derivada seja positiva para x < 0. Isso significa que a função deve estar aumentando nessa região. Podemos escolher, por exemplo, uma função polinomial que tenha esse comportamento.

Passo 4

Para 0 < x < 2, a derivada deve ser negativa, ou seja, a função deve estar diminuindo. Isso implica que a função deve ter um ponto de máximo em x = 0 ou entre 0 e 2.

Passo 5

Para x > 2, novamente, a derivada deve ser positiva, indicando que a função está aumentando nessa região. Isso sugere que há um ponto de mínimo em x = 2.

Passo 6

Uma função que atende a esses critérios pode ser construída a partir de uma função cúbica, que permite ter mudanças de concavidade e pontos de inflexão. Por exemplo:
f(x) = x^3 - 3x^2

Passo 7

Vamos verificar a derivada dessa função:
f'(x) = 3x^2 - 6x

Passo 8

Vamos analisar os sinais de f'(x):
  • Para x < 0:
f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)
Como x < 0, x^2 é positivo e -6x também é positivo, então f'(x) > 0.
  • Para 0 < x < 2:
    Aqui, x é positivo, mas x - 2 é negativo, então f'(x) < 0.
  • Para x > 2:
    Tanto x quanto x - 2 são positivos, então f'(x) > 0.

Passo 9

Portanto, a função f(x) = x^3 - 3x^2 atende a todas as condições do enunciado. O gráfico dessa função terá um aumento para x < 0, um decréscimo entre 0 e 2, e novamente um aumento para x > 2.

Resposta

Um exemplo de função que atende às condições é f(x) = x^3 - 3x^2. O gráfico dessa função é crescente para x < 0, decrescente entre 0 < x < 2 e crescente novamente para x > 2.

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