^a Questão. (1,0 pts) Esboce o gráfico da função h dada por
h(x)=2 x+1x-2
encontrando as interseções com os eixos e as assíntotas horizontais e verticais.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
h(x)=2x+1x-2
Precisamos usar conceitos de função racional: domínio, interseções com os eixos, assíntota vertical e assíntota horizontal, e depois juntar tudo num esboço.

Passo 2

Determinar o domínio e a assíntota vertical. O denominador não pode ser zero, ou seja
x-2=0implies x=2
Logo o domínio é Rsetminus2 e existe assíntota vertical
x=2

Passo 3

Determinar a assíntota horizontal. Como o grau do numerador e do denominador é o mesmo (ambos grau 1), a assíntota horizontal é
y=coeficiente de x no numeradorcoeficiente de x no denominador =21=2

Passo 4

Calcular as interseções com os eixos:
– Interseção com o eixo x: fazemos h(x)=0, isto é
2x+1=0implies x=-tfrac12,
logo o ponto l(-tfrac12,0r).
– Interseção com o eixo y: fazemos x=0, então
h(0)=2cdot0+10-2=-tfrac12,
logo o ponto l(0,-tfrac12r).

Passo 5

Analisar limites para entender o comportamento próximo às assíntotas:
limxto2^-h(x)=-infty, limxto2^+h(x)=+infty, limxtopminftyh(x)=2
Isso mostra que as duas “ramos” da hipérbole se aproximam de x=2 verticalmente e de y=2 horizontalmente.

Passo 6

Esboço qualitativo do gráfico:
– Trace a reta vertical x=2 e a reta horizontal y=2.
– Marque os pontos de interseção l(-tfrac12,0r) e l(0,-tfrac12r).
– No intervalo x<2, a curva passa em (0,-tfrac12), vai a -infty quando xto2^- e se aproxima de y=2 quando xto-infty.
– No intervalo x>2, a curva sai de +infty em xto2^+ e decresce, aproximando-se de y=2 quando xto+infty.

Resposta

Interseções:
l(-tfrac12,0r)el(0,-tfrac12r)
Assíntotas:
x=2(vertical), y=2(horizontal)

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