Questão 2. Em um experimento três jogadores, A, B e C rolam um dado honesto até que o número 6 apareça, momento em que o experimento é interrompido. (Suponha que A jogue o dado, depois B, depois C, então A e assim por diante).
a) Descreva o espaço amostral desse experimento;
b) Sejam Sigma1= evento em que A vence, e Sigma2= evento em que B vence, descreva os eventos a seguir:
i) Sigma1= evento em que A vence;
ii) Sigma2= evento em que B vence;
iii) (Sigma1 cup Sigma2)^c.

Passo 1

Então, cara, vamos ter que trabalhar com probabilidade básica: aqui o assunto é “espaço amostral” e “evento”. O que precisamos fazer é
  1. Descrever o espaço amostral S de todas as sequências de lançamentos até sair um 6.
  2. Definir os eventos Sigma1 (A vence), Sigma2 (B vence) e (Sigma1cupSigma2)^c.
    Para isso, vamos usar conceitos de sequências, ciclos de turnos (A, depois B, depois C, depois A de novo…) e noções de união e complemento de conjuntos.

Passo 2

Espaço amostral S:
  • Cada vez que rolamos, tiramos um número de 1 a 6. A gente para assim que sai um 6.
  • Então um ponto amostral é uma sequência (d1,d2,dots,dn) tal que
    1. Para i<n, diin1,2,3,4,5 (não deu 6);
    2. dn=6 (o último lançamento é o primeiro 6);
    3. n pode ser 1, 2, 3, … (infinitas possibilidades, mas todas terminam no primeiro 6).
      Em linguagem LaTeX:
S=l(d1,dots,dn)mid n>=1,;diin1,2,3,4,5 para i<n,;dn=6r

Passo 3

Evento Sigma1 (A vence):
  • Lembre: A joga nos turnos 1, 4, 7, … ou seja, nas posições n=3k+1.
  • Então Sigma1 é o conjunto de todas as sequências de S cujo comprimento n satisfaz nequiv1pmod3.
    Em LaTeX:
Sigma1=l(d1,dots,dn)in Smid n=3k+1 para algum k>=0r

Passo 4

Evento Sigma2 (B vence):
  • B joga nos turnos 2, 5, 8, … i.e.\ n=3k+2.
  • Logo
Sigma2=l(d1,dots,dn)in Smid n=3k+2 para algum k>=0r

Passo 5

Complemento de Sigma1cupSigma2:
  • Sigma1cupSigma2 são todos os casos em que A ou B ganha.
  • O complemento disso é “nem A nem B”, ou seja, quem ganha é C.
  • C joga nos turnos 3, 6, 9, … i.e.\ n=3k.
(Sigma1cupSigma2)^c =l(d1,dots,dn)in Smid n=3k para algum k>=1r

Resposta

a)
S=l(d1,dots,dn)mid n>=1,;diin1,2,3,4,5,(i<n),;dn=6r
b)
i) Sigma1=(d1,dots,dn)in Smid nequiv1pmod3
ii) Sigma2=(d1,dots,dn)in Smid nequiv2pmod3
iii) (Sigma1cupSigma2)^c=(d1,dots,dn)in Smid nequiv0pmod3

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