Questão 4. Suponha que cada um dos 10 homens de uma festa atire seu chapéu ao centro do salão de festas. Os chapéus são primeiramente misturados e então cada homem seleciona aleatoriamente um chapéu.
a) Descreva um espaço amostral para esse experimento;
b) Calcule a probabilidade de que nenhum dos homens retire seu próprio chapéu.
a) Descreva um espaço amostral para esse experimento;
b) Calcule a probabilidade de que nenhum dos homens retire seu próprio chapéu.
Passo 1
O enunciado diz que em uma festa 10 homens jogam seus chapéus no centro, depois cada um pega um chapéu ao acaso. Queremos (a) descrever o espaço amostral e (b) calcular a probabilidade de que nenhum pegue o seu próprio chapéu. O conteúdo é de contagem em combinatória, usando permutações e o número de desarranjos (derangements).
Passo 2
Um modelo natural é associar cada homem ao índice
e cada chapéu ao mesmo índice. Uma seleção aleatória corresponde a uma bijeção
. Logo o espaço amostral é
Passo 3
O número de pontos do espaço amostral é o número de permutações de 10 objetos, isto é,
Passo 4
Para que ninguém pegue o próprio chapéu, precisamos que
para todo
. O número de tais permutações é o número de desarranjos de tamanho 10, denotado
, dado pela fórmula de inclusão–exclusão:
Numericamente
.
Passo 5
A probabilidade buscada é
Resposta
a)
b)
b)