Questão 4. Suponha que cada um dos 10 homens de uma festa atire seu chapéu ao centro do salão de festas. Os chapéus são primeiramente misturados e então cada homem seleciona aleatoriamente um chapéu.
a) Descreva um espaço amostral para esse experimento;
b) Calcule a probabilidade de que nenhum dos homens retire seu próprio chapéu.

Passo 1

O enunciado diz que em uma festa 10 homens jogam seus chapéus no centro, depois cada um pega um chapéu ao acaso. Queremos (a) descrever o espaço amostral e (b) calcular a probabilidade de que nenhum pegue o seu próprio chapéu. O conteúdo é de contagem em combinatória, usando permutações e o número de desarranjos (derangements).

Passo 2

Um modelo natural é associar cada homem ao índice iin1,2,dots,10 e cada chapéu ao mesmo índice. Uma seleção aleatória corresponde a uma bijeção sigmacolon1,dots,10to1,dots,10. Logo o espaço amostral é
Omega = sigmamid sigma é permutação de 1,dots,10 éçã

Passo 3

O número de pontos do espaço amostral é o número de permutações de 10 objetos, isto é,
|Omega| = 10! = 3,628,800

Passo 4

Para que ninguém pegue o próprio chapéu, precisamos que sigma(i)neq i para todo i. O número de tais permutações é o número de desarranjos de tamanho 10, denotado D10, dado pela fórmula de inclusão–exclusão:
D10 = 10!sumk=0^10 (-1)^kk!
Numericamente D10=1,334,961.

Passo 5

A probabilidade buscada é
P(nenhum acerto) =D1010! =sumk=0^10(-1)^kk! approx 0,3678795

Resposta

a) Omega=sigma:1,dots,10to1,dots,10midsigma é bijeçãoéçã
b) P=D1010!=sumk=0^10(-1)^kk!approx0,36788

Exercícios relacionados