Questāo 2) Explique o que o Método do Newton-Raphson faz e o como ele procede.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras: explicar o que o Método de Newton–Raphson faz e explicar como ele procede (ou seja, o passo a passo do algoritmo).
Informações relevantes que o enunciado dá implicitamente e que vou usar:
  • O método procura uma raiz de uma equação da forma \,f(x)=0\,.
  • Precisa-se que a função f seja diferenciável (pelo menos na vizinhança da raiz que queremos).
  • É um método iterativo: parte-se de um palpite inicial \,x_0\, e gera-se uma sequência \,x_1,x_2,\dots\, que, sob condições, converge para a raiz.

Passo 2

Derivação do passo de iteração (onde aparece a fórmula que você deve decorar e usar na prova). Vou explicar cada símbolo e de onde vem.
Começamos aproximando a função f por sua reta tangente em torno de um ponto atual \,x_n. A equação da reta tangente à curva y=f(x) em x=x_n é, pela fórmula do declive-tangente:
\text{reta tangente: } \; y \approx f(x_n) + f'(x_n)(x-x_n).
Nessa reta, queremos o ponto onde ela cruza o eixo x (ou seja, onde y=0). Substituindo y=0 e resolvendo para x obtemos:
0 = f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n).
Isolando x dá:
x = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Por isso a regra de atualização do método é
\boxed{\,x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\,.}
Explicando os símbolos: \,x_n\, é a aproximação atual da raiz; \,f(x_n)\, é o valor da função nesse ponto; \,f'(x_n)\, é a derivada em \,x_n\,. O quociente \,\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}\, é o deslocamento (quanto subtrair de \,x_n) obtido pela interseção da tangente com o eixo x.

Passo 3

Algoritmo passo a passo (o procedimento que você aplica na prova ou implementa no computador):
  1. Escolha um palpite inicial \,x_0.
  2. Para n=0,1,2,\dots calcule \,f(x_n) e \,f'(x_n).
  3. Verifique que \,f'(x_n)\neq 0. Se for zero (ou muito pequeno), o método falha aí — mudo a estratégia (ver depois).
  4. Calcule
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
  1. Cheque um critério de parada (por exemplo, \,|f(x_{n+1})|<\text{tol}\, ou \,|x_{n+1}-x_n|<\text{tol}\, ou número máximo de iterações).
  2. Se o critério não for satisfeito, volte ao passo 2 com n\leftarrow n+1.
    Dica prática para provas: escreva explicitamente os valores de f(x_n), f'(x_n) e a fração \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} para mostrar que você aplicou corretamente o método.

Passo 4

Intuição geométrica — por que isso faz sentido?
A cada iteração, substituímos a função pela sua reta tangente em \,x_n e usamos o zero dessa reta como nova aproximação. Se a função for suave e x_n estiver perto da raiz, a tangente costuma cortar o eixo muito perto da raiz real, então a nova aproximação é melhor. Visualize uma curva e a sua tangente: o ponto de interseção da tangente com o eixo x tende a “pular” bem em direção à raiz.

Passo 5

Exemplo concreto passo a passo (faça isso na prova para mostrar entendimento): aproximar \sqrt{2} resolvendo \,f(x)=x^2-2=0.
  • Escolha \,x_0=1{,}5.
  • Temos \,f(x)=x^2-2 e \,f'(x)=2x.
    Cálculos:
f(x_0)=1{,}5^2-2=2{,}25-2=0{,}25, \qquad f'(x_0)=2\cdot 1{,}5=3.
Aplicando a fórmula:
x_1 = 1{,}5 - \frac{0{,}25}{3} = 1{,}5 - 0{,}083333\ldots = 1{,}416666\ldots
Próxima iteração:
f(x_1)=1{,}416666\ldots^2-2 \approx 0{,}006944\ldots, \qquad f'(x_1)=2\cdot 1{,}416666\ldots \approx 2{,}833333\ldots
x_2 = 1{,}416666\ldots - \frac{0{,}006944\ldots}{2{,}833333\ldots} \approx 1{,}414215686\ldots
Mais uma iteração já traz:
x_3 \approx 1{,}414213562\ldots
Em poucas iterações (3 aqui) já chegamos perto de \sqrt{2}\approx 1{,}414213562. Isso mostra o poder do método: converge rápido quando tudo está bem comportado.

Passo 6

Propriedades de convergência (o que você precisa saber para justificar ou avaliar o método). Aqui dou uma ideia técnica mas acessível: por que é rápido?
Suponha que r é uma raiz simples ( f(r)=0 e f'(r)\neq 0) e que f tem derivadas até segunda ordem contínuas perto de r. Defina o erro \,e_n = x_n - r. Pelo desenvolvimento de Taylor em torno de r temos:
f(x_n) = f(r+e_n) = f'(r)e_n + \tfrac{1}{2}f''(r)e_n^2 + O(e_n^3),
e
f'(x_n) = f'(r) + f''(r)e_n + O(e_n^2).
Substituindo na fórmula de Newton e fazendo contas (aproximações até segunda ordem) obtém-se
e_{n+1} \approx \frac{f''(r)}{2f'(r)}\,e_n^2.
Isto mostra duas coisas importantes:
  • A convergência é, tipicamente, quadrática: se e_n é pequeno, e_{n+1} é aproximadamente proporcional a e_n^2, ou seja, o número de casas corretas dobra a cada iteração (em média).
  • O fator \dfrac{f''(r)}{2f'(r)} determina a constante da ordem quadrática.
    Na prova, mencionar esse resultado e as hipóteses (raiz simples, f duas vezes derivável) já é suficiente para justificar a rapidez do método.

Passo 7

Principais problemas e como contorná‑los (o que fazer se a prova te dá um caso “ruim”):
  • Se \,f'(x_n)=0 ou muito pequeno, a fórmula tem divisão por zero ou salto muito grande — o método falha. Solução prática: escolher outro x_0 ou usar método híbrido (bissecção + Newton) ou método da secante.
  • Se a raiz é múltipla (por exemplo f(x)=(x-r)^m com m>1), a convergência deixa de ser quadrática e passa a ser apenas linear. Há versões modificadas de Newton para raízes múltiplas: por exemplo usar
x_{n+1}=x_n - m\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
se soubermos m.
  • Um mau palpite inicial pode levar a divergência, oscilação, ou convergência para outra raiz. Estratégia em provas: discutir escolha do x_0, mostrar que f'(x) não muda de sinal no intervalo considerado, ou combinar com bissecção para garantir aproximação inicial.
  • Se f não for diferenciável ou a derivada for cara de calcular, use o método da secante (não precisa de f').

Passo 8

Critérios de parada e erros na prática (o que mostrar numa prova e o que usar em código):
  • Critério em f: pare quando |f(x_n)|<\varepsilon.
  • Critério em x: pare quando |x_{n+1}-x_n|<\varepsilon.
  • Use também limite de iterações para evitar loops infinitos.
    Qual \varepsilon usar depende da precisão desejada; para provas, mostrar duas condições (por exemplo |f(x_n)|<10^{-6} e |x_{n+1}-x_n|<10^{-6}) é suficiente para argumentar convergência numérica.

Passo 9

Resumo rápido com dicas de prova e implementação — motivate-se!
  • Sempre escreva a fórmula \,x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}\, e calcule explicitamente f(x_n) e f'(x_n).
  • Verifique \,f'(x_n)\neq 0. Se for zero, comente que o método falha aí e proponha alternativa.
  • Se pedirem justificar rapidez, cite a convergência quadrática e a relação
e_{n+1} \approx \frac{f''(r)}{2f'(r)} e_n^2,
com as hipóteses (raiz simples, f duas vezes derivável).
  • Em provas, se possível, faça 2–3 iterações numéricas para mostrar convergência rápida (como no exemplo de \sqrt{2}).

Resposta

O Método de Newton–Raphson é um método iterativo para aproximar raízes de \,f(x)=0\,; a cada iteração aproxima f por sua reta tangente em x_n e toma a interseção dessa tangente com o eixo x como nova aproximação, usando a fórmula
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.

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