Questão 4. Suponha que a temperatura ao longo de um dia em Juazeiro do Norte variou de acordo com a tabela:
Horário 0 6 12 18
{ }^{\circ} \mathrm{C} 26 21 34 30
Sabendo que se deseja ajustar a esta tabela a função:
T(t)=a+b \cos (\omega t)+c \operatorname{sen}(\omega t), \quad \text { para } \omega=\pi / 12
usando o método dos mínimos quadrados, faça o que se pede:
(a) Aplique T à tabela para montar um sistema da forma \mathbf{A x}=\mathbf{b}, arredondando os coeficientes de A e b para os inteiros mais próximos.
(b) Resolva o sistema do item (a) usando o método dos mínimos quadrados.
(c) Utilize T para estimar a temperatura às 14:00.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
(a) montar o sistema linear na forma \mathbf{A x}=\mathbf{b} usando o modelo
T(t)=a+b\cos(\omega t)+c\operatorname{sen}(\omega t),\qquad \omega=\pi/12,
aplicando-o aos horários da tabela e arredondando os coeficientes de \mathbf{A} e \mathbf{b} para os inteiros mais próximos;
(b) resolver o sistema do item (a) pelo método dos mínimos quadrados;
(c) usar a função ajustada para estimar a temperatura às 14:00.
Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|cccc} \text{Horário }t\\ (\text{h}) & 0 & 6 & 12 & 18\\hline T\\ (^\circ\text{C}) & 26 & 21 & 34 & 30 \end{array}á
e \omega=\pi/12.

Passo 2

Vamos aplicar o modelo em cada ponto t. Para cada t_i a linha do sistema será
[\,1\;,\;\cos(\omega t_i)\;,\;\operatorname{sen}(\omega t_i)\,]\begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix}=T(t_i).
Calculo de \omega t e dos cossenos/senos (aqui usei os valores exatos das funções trigonométricas em ângulos notáveis):
\begin{aligned} t=0:\\ &\omega t=0,\quad \cos(0)=1,\\ \operatorname{sen}(0)=0,\\\ t=6:\\ &\omega t=\frac{\pi}{2},\quad \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0,\\ \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1,\\\ t=12:\\ &\omega t=\pi,\quad \cos(\pi)=-1,\\ \operatorname{sen}(\pi)=0,\\\ t=18:\\ &\omega t=\tfrac{3\pi}{2},\quad \cos\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=0,\\ \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=-1. \end{aligned}
Portanto as linhas de \mathbf{A} são (nessa ordem): [1,1,0], [1,0,1], [1,-1,0], [1,0,-1]. O vetor \mathbf{b} contém as temperaturas [26,21,34,30]^T.
Arredondando (já são inteiros), obtemos o sistema:
\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[3pt] 1 & 0 & 1\\[3pt] 1 & -1 & 0\\[3pt] 1 & 0 & -1 \end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}26\\[3pt]21\\[3pt]34\\[3pt]30\end{pmatrix}.]

Passo 3

Explico a ideia dos mínimos quadrados de forma simples: como temos mais equações (4) do que incógnitas (3), geralmente não existe \mathbf{x}=(a,b,c)^T que satisfaça todas as quatro equações exatamente. A solução de mínimos quadrados minimiza a soma dos quadrados dos resíduos \| \mathbf{Ax}-\mathbf{b}\|^2. Isso leva às equações normais
\mathbf{A}^T\mathbf{A}\,\mathbf{x}=\mathbf{A}^T\mathbf{b}.
Vamos calcular \mathbf{A}^T\mathbf{A} e \mathbf{A}^T\mathbf{b} passo a passo.

Passo 4

Calculemos \mathbf{A}^T\mathbf{A}. As colunas de \mathbf{A} são
\mathbf{c}_1=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},\\ \mathbf{c}_2=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix},\\ \mathbf{c}_3=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}.
Então os elementos de \mathbf{A}^T\mathbf{A} são produtos internos:
\begin{aligned} \mathbf{c}_1\cdot\mathbf{c}_1&=1+1+1+1=4,\\\ \mathbf{c}_1\cdot\mathbf{c}_2&=1+0-1+0=0,\\\ \mathbf{c}_1\cdot\mathbf{c}_3&=0+1+0-1=0,\\\ \mathbf{c}_2\cdot\mathbf{c}_2&=1+0+1+0=2,\\\ \mathbf{c}_2\cdot\mathbf{c}_3&=0+0+0+0=0,\\\ \mathbf{c}_3\cdot\mathbf{c}_3&=0+1+0+1=2. \end{aligned}
Portanto
\mathbf{A}^T\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0\\[3pt] 0 & 2 & 0\\[3pt] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Agora \mathbf{A}^T\mathbf{b}: multiplicamos cada coluna por \mathbf{b}:
\begin{aligned} \mathbf{c}_1\cdot\mathbf{b}&=26+21+34+30=111,\\\ \mathbf{c}_2\cdot\mathbf{b}&=1\cdot26+0\cdot21+(-1)\cdot34+0\cdot30=26-34=-8,\\\ \mathbf{c}_3\cdot\mathbf{b}&=0\cdot26+1\cdot21+0\cdot34+(-1)\cdot30=21-30=-9. \end{aligned}
Logo
\mathbf{A}^T\mathbf{b}=\begin{pmatrix}111\\[3pt]-8\\[3pt]-9\end{pmatrix}.]

Passo 5

Resolvendo as equações normais \mathbf{A}^T\mathbf{A}\,\mathbf{x}=\mathbf{A}^T\mathbf{b}: como \mathbf{A}^T\mathbf{A} é diagonal, as incógnitas separam-se:
\begin{aligned} 4a&=111 \quad\Rightarrow\quad a=\frac{111}{4}=27,75,\\[4pt] 2b&=-8 \quad\Rightarrow\quad b=-4,\\[4pt] 2c&=-9 \quad\Rightarrow\quad c=-\frac{9}{2}=-4,5. \end{aligned}
Portanto os coeficientes do ajuste são
a=\frac{111}{4},\quad b=-4,\quad c=-\frac{9}{2}.
A função ajustada é
T(t)=27,75-4\cos\!\left(\tfrac{\pi}{12}t\right)-4,5\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{12}t\right).]

Passo 6

Agora estimamos a temperatura às 14:00 ( t=14). Primeiro calculemos \omega t:
\omega t=\frac{\pi}{12}\cdot 14=\frac{14\pi}{12}=\frac{7\pi}{6}.
Usamos valores trigonométricos exatos:
\cos\!\left(\tfrac{7\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\approx -0,8660254,\qquad \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{7\pi}{6}\right)=-\tfrac{1}{2}=-0,5.
Substituindo em T(t):
\begin{aligned} T(14)&=27,75-4\cos\!\left(\tfrac{7\pi}{6}\right)-4,5\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{7\pi}{6}\right)\\[4pt] &=27,75-4\!\bigg(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigg)-4,5\!\bigg(-\tfrac{1}{2}\bigg)\\[4pt] &=27,75+4\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}+4,5\cdot\tfrac{1}{2}\\[4pt] &\approx 27,75 + 3,4641016 + 2,25 \\[4pt] &\approx 33,4641016. \end{aligned}
Arredondando para duas casas decimais, a estimativa é 33,46^\circ\text{C}.]

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{A}=\begin{pmatrix}1&1&0\\[3pt]1&0&1\\[3pt]1&-1&0\\[3pt]1&0&-1\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}26\\[3pt]21\\[3pt]34\\[3pt]30\end{pmatrix}.
(b) \displaystyle a=\frac{111}{4}=27,75,\quad b=-4,\quad c=-\frac{9}{2}=-4,5.
(c) \displaystyle T(14)\approx 33,46\\ ^\circ\text{C}.]

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