Questāo 4) Encontre uma raíz de
, usando o Método da 5,0 Posição Falsa.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma raíz de
com tolerância
, usando o Método da Posição Falsa (regula falsi).
Informações dadas e claras:
Informações dadas e claras:
- A função é
. - A tolerância pedida é
. - Devemos usar o método da posição falsa (regula falsi).
Não há intervalo inicial explícito no enunciado, então escolhemos um intervalo ondemuda de sinal (requisito do método): vamos verificar e usar o intervalo , pois e . A resolução começa a partir daqui.
Passo 2
Verificação do sinal em
e cálculo das avaliações iniciais (sempre mostrando como se obtém cada número):
- Calcule
: - Calcule
: . Usando , temos
Logo
, existe uma raíz em
. Vamos aplicar a posição falsa neste intervalo.
Passo 3
Fórmula do Método da Posição Falsa e ideia:
Sejam pontos do intervalo e
com
. A aproximação pela reta que liga
e
cruza o eixo
em
Sejam pontos do intervalo
Interpretando:
é a interseção da linha secante com o eixo
. Depois avaliamos
; o novo intervalo será
ou
escolhendo a subintervalo onde o sinal muda. Repetimos até atender a critério de parada.
Critério que escolhemos: parar quando . Justificativa: é um critério comum e verificável sem conhecer a raíz exata; além disso o enunciado deu
sem especificar se é em
ou
, então optamos por tolerância no valor da função (mais prático).
Critério que escolhemos: parar quando
Passo 4
Iteração 1:
,
. Já temos
e
.
Calcule pela fórmula:
Calcule
Agora avaliamos
. Para isso precisamos de
. Aproximação (cálculo direto):
Resultado:
. Como
e
têm sinais opostos, o novo intervalo é
.
Passo 5
Iteração 2:
,
. Conhecemos
e
.
Usando a forma alternativa (mais prática para cálculo):
Usando a forma alternativa (mais prática para cálculo):
Calculemos os termos:
e
.
Então
Então
Agora avaliamos
. Aproximando
e usando cálculo direto,
Resultado:
. Como
e
têm sinais opostos, o novo intervalo é
.
Passo 6
Iteração 3:
,
. Temos
,
.
Calcule com a mesma fórmula:
Calcule
Os termos:
e
. Então
Agora avaliamos
. Aproximação direta:
Observação: a avaliação de
pode ser feita com calculadora para maior precisão; aqui usei aproximações de
para obter um valor suficiente para o critério.
Passo 7
Verificação do critério de parada: escolhemos parar quando
. Para
encontramos
Portanto a aproximação
atende ao critério pedido. Temos, em poucas iterações, chegado a uma aproximação da raíz com a precisão exigida.