Questāo 4) Encontre uma raíz de f(x)=x \log (x)-1 \operatorname{com} \epsilon=0,0002, usando o Método da 5,0 Posição Falsa.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma raíz de f(x)=x\log(x)-1 com tolerância \epsilon=0,0002, usando o Método da Posição Falsa (regula falsi).
Informações dadas e claras:
  • A função é f(x)=x\log(x)-1.
  • A tolerância pedida é \epsilon=0,0002.
  • Devemos usar o método da posição falsa (regula falsi).
    Não há intervalo inicial explícito no enunciado, então escolhemos um intervalo onde f muda de sinal (requisito do método): vamos verificar e usar o intervalo [1,2], pois f(1)= -1 e f(2)=2\log(2)-1>0. A resolução começa a partir daqui.

Passo 2

Verificação do sinal em [1,2] e cálculo das avaliações iniciais (sempre mostrando como se obtém cada número):
  • Calcule f(1): \;f(1)=1\cdot\log(1)-1=0-1=-1.
  • Calcule f(2): \;f(2)=2\log(2)-1. Usando \log(2)\approx0{,}69314718056, temos
f(2)=2\cdot 0{,}69314718056 -1 \approx 0{,}38629436112>0.
Logo f(1)\cdot f(2)<0, existe uma raíz em [1,2]. Vamos aplicar a posição falsa neste intervalo.

Passo 3

Fórmula do Método da Posição Falsa e ideia:
Sejam pontos do intervalo a e b com f(a)\cdot f(b)<0. A aproximação pela reta que liga (a,f(a)) e (b,f(b)) cruza o eixo x em
c=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
Interpretando: c é a interseção da linha secante com o eixo x. Depois avaliamos f\text{(c)}; o novo intervalo será [a,c] ou [c,b] escolhendo a subintervalo onde o sinal muda. Repetimos até atender a critério de parada.
Critério que escolhemos: parar quando |f\text{(c)}|<\epsilon. Justificativa: é um critério comum e verificável sem conhecer a raíz exata; além disso o enunciado deu \epsilon sem especificar se é em x ou f(x), então optamos por tolerância no valor da função (mais prático).

Passo 4

Iteração 1: a_1=1, b_1=2. Já temos f(a_1)=-1 e f(b_1)\approx0{,}38629436112.
Calcule c_1 pela fórmula:
c_1=\frac{1\cdot f(2)-2\cdot f(1)}{f(2)-f(1)} =\frac{1\cdot 0{,}38629436112 - 2\cdot(-1)}{0{,}38629436112-(-1)} =\frac{2{,}38629436112}{1{,}38629436112}\approx 1{,}72134752044.
Agora avaliamos f(c_1). Para isso precisamos de \log(c_1). Aproximação (cálculo direto):
\log(1{,}72134752044)\approx 0{,}543101\quad\Rightarrow\quad f(c_1)=c_1\log(c_1)-1\approx 1{,}72134752044\cdot0{,}543101-1\approx -0{,}06562.
Resultado: f(c_1)\approx -0{,}06562<0. Como f(c_1) e f(b_1) têm sinais opostos, o novo intervalo é [a_2,b_2]=[c_1,b_1]=[1{,}72134752044,\;2].

Passo 5

Iteração 2: a_2\approx 1{,}72134752044, b_2=2. Conhecemos f(a_2)\approx -0{,}06562 e f(b_2)\approx0{,}38629436112.
Usando a forma alternativa (mais prática para cálculo):
c_2 = a_2 - f(a_2)\,\frac{b_2-a_2}{f(b_2)-f(a_2)}.
Calculemos os termos: b_2-a_2\approx 0{,}27865247956 e f(b_2)-f(a_2)\approx 0{,}38629436112-(-0{,}06562)\approx 0{,}45191436112.
Então
c_2 \approx 1{,}72134752044 - (-0{,}06562)\cdot\frac{0{,}27865247956}{0{,}45191436112} \approx 1{,}72134752044 + 0{,}04048 \approx 1{,}761827999.
Agora avaliamos f(c_2). Aproximando \log(c_2) e usando cálculo direto,
\log(1{,}761827999)\approx 0{,}5659\quad\Rightarrow\quad f(c_2)=c_2\log(c_2)-1\approx 1{,}761827999\cdot0{,}5659-1\approx -0{,}00219.
Resultado: f(c_2)\approx -0{,}00219<0. Como f(c_2) e f(b_2) têm sinais opostos, o novo intervalo é [a_3,b_3]=[c_2,b_2]=[1{,}761827999,\;2].

Passo 6

Iteração 3: a_3\approx 1{,}761827999, b_3=2. Temos f(a_3)\approx -0{,}00219, f(b_3)\approx0{,}38629436112.
Calcule c_3 com a mesma fórmula:
c_3 = a_3 - f(a_3)\,\frac{b_3-a_3}{f(b_3)-f(a_3)}.
Os termos: b_3-a_3\approx 0{,}238172001 e f(b_3)-f(a_3)\approx 0{,}38848436112. Então
c_3 \approx 1{,}761827999 - (-0{,}00219)\cdot\frac{0{,}238172001}{0{,}38848436112} \approx 1{,}761827999 + 0{,}0013399 \approx 1{,}763167899.
Agora avaliamos f(c_3). Aproximação direta:
\log(1{,}763167899)\approx 0{,}567078\quad\Rightarrow\quad f(c_3)=c_3\log(c_3)-1\approx 1{,}763167899\cdot0{,}567078-1\approx -0{,}0000861.
Observação: a avaliação de f(c_3) pode ser feita com calculadora para maior precisão; aqui usei aproximações de \log para obter um valor suficiente para o critério.

Passo 7

Verificação do critério de parada: escolhemos parar quando |f(c_k)|<\epsilon. Para c_3 encontramos
|f(c_3)|\approx 0{,}0000861 < \epsilon=0{,}0002.
Portanto a aproximação c_3\approx 1{,}763167899 atende ao critério pedido. Temos, em poucas iterações, chegado a uma aproximação da raíz com a precisão exigida.

Resposta

1{,}763167899

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