Questão 3. (1,0) Expresse cada função f\) como uma combinação de funções degrau unitárío e calcule sua transformada de Laplace: \(f(t)= \begin{cases}0, & 0 \leq t<2, \\\ t^{2}-4 t+4, & 2 \leq t<\infty .\end{cases}

Passo 1

O enunciado fornece
f(t)= \begin{cases} 0,&0\le t<2,\\\ t^2-4t+4,&t\ge2, \end{cases}
e pede (a) a expressão de f em termos de degrau unitário u(t) e (b) sua transformada de Laplace. Vamos usar a propriedade de deslocamento na transformada de Laplace:
L\{u(t-a)\,g(t-a)\}(s)=e^{-a s}\,L\{g(t)\}(s).

Passo 2

Como f(t)=0 para t<2 e vale t^2-4t+4 para t\ge2, podemos escrever
f(t)=u(t-2)\,\bigl(t^2-4t+4\bigr).

Passo 3

Para aplicar a fórmula de deslocamento, queremos algo da forma u(t-2)\,g(t-2). Note que
t^2-4t+4 =\bigl((t-2)+2\bigr)^2 -4\bigl((t-2)+2\bigr)+4 = (t-2)^2.
Portanto
f(t)=u(t-2)\,(t-2)^2.

Passo 4

Definindo g(t)=t^2, sabemos que
L\{t^2\}(s)=\frac{2}{s^3}.
Pela propriedade de deslocamento,
L\{u(t-2)(t-2)^2\}(s) = e^{-2s}\;L\{t^2\}(s) = e^{-2s}\,\frac{2}{s^3}.

Resposta

F(s)=\frac{2\,e^{-2s}}{s^3}.

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