Questāo 1. (3,0) Resolva a equação diferencial
através de uma série de potências de
em torno da origem seguindo os seguintes passos:
(a) Obtenha a relação de recorrência entre os coeficientes da série;
(b) Exiba os seis primeiros termos não-nulos da solução geral;
(c) Escreva a solução geral na forma
e determine, se possível, o termo geral de cada série que compōe a soluçāo geral;
(d) Determine a solução particular que satisfaz às condiçôes iniciais:
,
, onde
e
são, respectivamente, o último e o penútimo dígitos do seu número de matrícula.
(a) Obtenha a relação de recorrência entre os coeficientes da série;
(b) Exiba os seis primeiros termos não-nulos da solução geral;
(c) Escreva a solução geral na forma
(d) Determine a solução particular que satisfaz às condiçôes iniciais:
Passo 1
O enunciado pede resolver por série em torno de
a EDO
O conteúdo é método de série de potências: assumimos
obtemos a relação de recorrência entre os
, extraímos seis primeiros termos não nulos, escrevemos a solução geral na forma
e, por fim, aplicamos as condições iniciais
e
.
Passo 2
Derivando
e substituindo em
, alinhando potências
, chega-se à relação de recorrência
Passo 3
Usando a recorrência para calcular
em função de
:
Logo os seis primeiros termos não nulos são
onde, explicitamente,
Passo 4
Para separar em duas soluções fundamentais, note que
e
são livres. Definimos
Então
sendo o termo geral de cada série dado pela mesma recorrência
Não há fórmula fechada elementar simples para
, mas esse é o termo geral.
Passo 5
Como
temos
e
. Portanto a solução particular que satisfaz
é
onde
e
são as séries determinadas acima com
e
, respectivamente.
Resposta
A solução geral por série de potências é
com recorrência
e os primeiros termos
Impondo
,
obtém-se