Questão 3. (1,0) Expresse cada função f\) como uma combinação de funções degrau unitárío e calcule sua transformada de Laplace: \(f(t)= \begin{cases}\operatorname{sen} t, & 0 \leq t<\pi, \\\ \operatorname{sen} t+\operatorname{sen}(t-\pi), & t \geq \pi .\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá uma função em partes:
f(t)= \begin{cases} \sin t, & 0 \le t<\pi,\\\ \sin t+\sin(t-\pi), & t\ge\pi \end{cases}
O conteúdo é representação por função degrau unitário e transformada de Laplace. Vamos usar a definição da função degrau
u(t-a)= \begin{cases} 0, & t<a,\\\\ 1, & t\ge a, \end{cases}
e o teorema do segundo deslocamento na Laplace.

Passo 2

Repare que para t<\pi a parte extra \sin(t-\pi) não aparece, e para t\ge\pi ela soma-se a \sin t. Logo
f(t)=\sin t+u(t-\pi)\,\sin\bigl(t-\pi\bigr).

Passo 3

Recordando a transformada de Laplace da função seno, para \Re(s)>0 vale
\mathcal L\{\sin t\}(s)=\frac{1}{s^2+1}.

Passo 4

Pelo teorema do segundo deslocamento, se \mathcal L\{g(t)\}(s)=G(s) então
\mathcal L\bigl\{u(t-a)\,g(t-a)\bigr\}(s)=e^{-a s}\,G(s).
Aqui g(t)=\sin t tem G(s)=1/(s^2+1) e a=\pi, logo
\mathcal L\{u(t-\pi)\,\sin(t-\pi)\}(s)=e^{-\pi s}\,\frac{1}{s^2+1}.

Passo 5

Somando as duas partes, obtemos
\mathcal L\{f(t)\}(s) =\mathcal L\{\sin t\}(s)+\mathcal L\{u(t-\pi)\sin(t-\pi)\}(s) =\frac{1}{s^2+1}+\frac{e^{-\pi s}}{s^2+1} =\frac{1+e^{-\pi s}}{s^2+1}.

Resposta

\mathcal L\{f(t)\}(s)=\frac{1+e^{-\pi s}}{s^2+1}.

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