Questão 2. (3,0) Utilize a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial a seguir
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=0 \\\ y(0)=1=y^{\prime}(0), y^{\prime \prime}(0)=3 . \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de ordem três
y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}+y^{\prime}-y=0
com condições iniciais \;y(0)=1, y'(0)=1, y''(0)=3, usando transformada de Laplace. Vamos usar as fórmulas \mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0), \mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0), \mathcal{L}\{y'''\}=s^3Y(s)-s^2y(0)-sy'(0)-y''(0).

Passo 2

Aplicando \mathcal{L} em cada termo da EDO, obtemos
\bigl[s^3Y(s)-s^2\cdot1-s\cdot1-3\bigr] -\bigl[s^2Y(s)-s\cdot1-1\bigr] +\bigl[sY(s)-1\bigr] -\;Y(s)\;=\;0.
Juntando termos constantes resulta
(s^3 - s^2 + s -1)\,Y(s)\;+\;(-s^2-3)\;=\;0.

Passo 3

Isolando Y(s), passamos o termo constante para o outro lado e fatoramos
(s^3 - s^2 + s -1)\,Y(s)=s^2+3,
(s-1)(s^2+1)\,Y(s)=s^2+3 \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{s^2+3}{(s-1)(s^2+1)}.

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais
\frac{s^2+3}{(s-1)(s^2+1)} =\frac{A}{s-1}+\frac{Bs+C}{s^2+1}.
Multiplicando pelos denominadores e igualando coeficientes, obtemos o sistema
A+B=1,\quad C-B=0,\quad A-C=3
cuja solução é A=2, B=-1, C=-1. Logo
Y(s)=\frac{2}{s-1}-\frac{s+1}{s^2+1}.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa em cada parcela: \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{2}{s-1}\}=2e^t, \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{s}{s^2+1}\}=\cos t, \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^2+1}\}=\sin t.
Portanto
y(t)=2e^t-\bigl(\cos t+\sin t\bigr)=2e^t-\cos t-\sin t.

Resposta

y(t)=2e^t-\cos t-\sin t

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