Utilize o teste da razão para determinar se cada uma das séries converge ou diverge.
sumn=2^infty 3^n+2ln n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=2^infty 3^n+2ln n
usando o teste da razão. O conteúdo que vamos usar é a definição do teste da razão de séries: se
L = limntoinfty |an+1an|
existe e L<1, a série converge; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Definimos
an = 3^n+2ln n
Então o quociente entre termos sucessivos é
an+1an = 3^(n+1)+2 / ln(n+1) 3^n+2 / ln n = 3^n+33^n+2;ln nln(n+1) =3;ln nln(n+1)

Passo 3

Agora calculamos o limite
L = limntoinfty 3;ln nln(n+1) =3;limntoinfty ln nln(n+1) =3cdot1 =3
Como L=3>1, o teste da razão nos diz que a série diverge.

Resposta

A série sumn=2^infty 3^n+2ln n diverge pelo teste da razão.

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