Resolva as seguintes integrais triplas: \iiint_{W}\left(4 x y z^{2}\right) d V, onde W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{2}, 1 \leq x \leq 3,2 \leq y \leq 5\right. e \left.0 \leq z \leq 1\right\}.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla
\iiint_{W} \left(4xyz^{2}\right)\,dV
sobre a região W dada por
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid 1\le x\le 3,\; 2\le y\le 5,\; 0\le z\le 1\}.
Informações dadas:
  • A função integranda é 4xyz^{2}.
  • A região W é um paralelepípedo retangular com limites independentes em cada variável: x varia de 1 a 3, y de 2 a 5 e z de 0 a 1.
    O que se pede: avaliar numericamente a integral tripla acima.

Passo 2

Observação estratégica (sem calcular ainda): como W é um produto cartesiano de intervalos (um retângulo em 3D) e a integranda é um produto de funções que dependem separadamente de x,y,z (especificamente 4\cdot x\cdot y\cdot z^{2}), podemos aplicar a regra de Fubini e avaliar a integral como uma integral iterada em qualquer ordem. Além disso, por fatoração:
4xyz^{2}=(4x y)\, z^{2},
e constantes em relação a uma variável podem sair da integral dessa variável. Isso simplifica muito o cálculo: integrar primeiro em z, depois em y e por fim em x será direto.

Passo 3

Escrevendo a integral iterada na ordem dz\,dy\,dx:
\iiint_{W}4xyz^{2}\,dV = \int_{x=1}^{3}\int_{y=2}^{5}\int_{z=0}^{1}4xyz^{2}\,dz\,dy\,dx.
Aqui cada limite foi colocado conforme a descrição de W.

Passo 4

Integramos primeiro em z. Como x e y são constantes em relação a z, podemos colocá-los fora da integral em z:
\int_{z=0}^{1}4xyz^{2}\,dz =4x y\int_{0}^{1}z^{2}\,dz.
Agora calculo \int_{0}^{1}z^{2}\,dz. A primitiva de z^{2} é \dfrac{z^{3}}{3}, logo
\int_{0}^{1}z^{2}\,dz=\left[\dfrac{z^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\dfrac{1^{3}}{3}-\dfrac{0^{3}}{3}=\dfrac{1}{3}.
Portanto
\int_{0}^{1}4xyz^{2}\,dz=4x y\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}xy.

Passo 5

Agora a integral restante é em y e x:
\int_{x=1}^{3}\int_{y=2}^{5}\dfrac{4}{3}xy\,dy\,dx.
Integro em y mantendo x como constante:
\int_{y=2}^{5}\dfrac{4}{3}xy\,dy=\dfrac{4}{3}x\int_{2}^{5}y\,dy.
A primitiva de y é \dfrac{y^{2}}{2}. Então
\int_{2}^{5}y\,dy=\left[\dfrac{y^{2}}{2}\right]_{2}^{5}=\dfrac{5^{2}}{2}-\dfrac{2^{2}}{2}=\dfrac{25-4}{2}=\dfrac{21}{2}.
Substituindo,
\int_{y=2}^{5}\dfrac{4}{3}xy\,dy=\dfrac{4}{3}x\cdot \dfrac{21}{2}=\dfrac{4\cdot 21}{6}\,x=\;14x.
(Detalhe do cálculo: \dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{21}{2}=\dfrac{84}{6}=14.)

Passo 6

Agora integro em x:
\int_{x=1}^{3}14x\,dx=14\int_{1}^{3}x\,dx.
A primitiva de x é \dfrac{x^{2}}{2}. Assim
\int_{1}^{3}x\,dx=\left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{3}=\dfrac{3^{2}}{2}-\dfrac{1^{2}}{2}=\dfrac{9-1}{2}=\dfrac{8}{2}=4.
Multiplicando por 14,
14\cdot 4=56.

Passo 7

Interpretação final e dica de prova: o resultado é um número puro (sem variáveis). Em provas, reconhecer que a região é retangular e que a integranda é separável costuma permitir fatorar e calcular cada integral unidimensional de forma rápida — exatamente o que foi feito aqui. Se a região não fosse retangular, seria preciso ajustar os limites internos conforme a geometria.

Resposta

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