Resolva as seguintes integrais triplas:
, onde
e
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral tripla
sobre a região
dada por
Informações dadas:
- A função integranda é
. - A região
é um paralelepípedo retangular com limites independentes em cada variável: varia de a , de a e de a .
O que se pede: avaliar numericamente a integral tripla acima.
Passo 2
Observação estratégica (sem calcular ainda): como
é um produto cartesiano de intervalos (um retângulo em 3D) e a integranda é um produto de funções que dependem separadamente de
(especificamente
), podemos aplicar a regra de Fubini e avaliar a integral como uma integral iterada em qualquer ordem. Além disso, por fatoração:
e constantes em relação a uma variável podem sair da integral dessa variável. Isso simplifica muito o cálculo: integrar primeiro em
, depois em
e por fim em
será direto.
Passo 3
Escrevendo a integral iterada na ordem
:
Aqui cada limite foi colocado conforme a descrição de
.
Passo 4
Integramos primeiro em
. Como
e
são constantes em relação a
, podemos colocá-los fora da integral em
:
Agora calculo
. A primitiva de
é
, logo
Portanto
Passo 5
Agora a integral restante é em
e
:
Integro em
mantendo
como constante:
A primitiva de
é
. Então
Substituindo,
(Detalhe do cálculo:
.)
Passo 6
Agora integro em
:
A primitiva de
é
. Assim
Multiplicando por
,
Passo 7
Interpretação final e dica de prova: o resultado é um número puro (sem variáveis). Em provas, reconhecer que a região é retangular e que a integranda é separável costuma permitir fatorar e calcular cada integral unidimensional de forma rápida — exatamente o que foi feito aqui. Se a região não fosse retangular, seria preciso ajustar os limites internos conforme a geometria.