Questão Extra. (0,3 ponto extra na Média Final) Demonstre o Teorema (da Divergência) de Gauss para o caso especial em que o sólido
é de tipo I, isto é, dado por
.
Dica: Procure nas principais referências da componente curricular.
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Passo 1
Então, a gente tem uma questão sobre o Teorema da Divergência de Gauss, que é uma ferramenta importante em cálculo vetorial. O exercício pede para demonstrar esse teorema para um sólido do tipo I, que é definido por uma região no plano
e duas funções que delimitam o sólido no eixo
. Para resolver, vamos precisar entender o que é o Teorema da Divergência, como ele se aplica a sólidos desse tipo, e usar integrais múltiplas para fazer a demonstração.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência de Gauss. Esse teorema relaciona o fluxo de um campo vetorial através da superfície fechada
de um sólido
com a integral tripla da divergência desse campo sobre o volume
. Em fórmula, é escrito como:
Isso significa que, para calcular o fluxo através da superfície, podemos integrar a divergência do campo dentro do volume, o que muitas vezes é mais fácil.
Passo 3
Agora, vamos considerar o sólido
do tipo I, que é definido pela região
no plano
e pelas funções
e
que delimitam o sólido no eixo
. Ou seja:
Esse tipo de sólido é útil porque facilita a configuração das integrais.
Passo 4
Vamos agora aplicar o Teorema da Divergência a esse sólido. Primeiro, calculamos a divergência do campo vetorial
:
Em seguida, configuramos a integral tripla sobre o volume
:
Esse passo organiza a integral de acordo com os limites do sólido tipo I.
Passo 5
Agora, vamos calcular o fluxo através das superfícies que compõem a fronteira de
. A fronteira tem três partes principais: a parte superior onde
, a parte inferior onde
, e as laterais que correspondem à fronteira de
.
Para cada parte, calculamos a integral de superfície:
- Parte Superior (
):
- Parte Inferior (
):
- Partes Laterais (borda de
):
A orientação das normais
é para fora do sólido.
Passo 6
Ao calcular essas integrais de superfície, observamos que as contribuições das partes superior e inferior, após integração, correspondem exatamente à integral tripla da divergência que calculamos anteriormente. As integrais das laterais, por sua vez, cancelam-se ou não contribuem para a divergência total, dependendo do campo
.
Portanto, ao somar todas as contribuições das superfícies, temos:
Isso confirma que o Teorema da Divergência vale para o sólido tipo I.
Resposta
Demonstramos que, para um sólido do tipo I, o fluxo do campo vetorial
através da superfície fechada
é igual à integral tripla da divergência de
sobre o volume
. Assim, o Teorema da Divergência de Gauss é validado para esse caso especial.