Questão Extra. (0,3 ponto extra na Média Final) Demonstre o Teorema (da Divergência) de Gauss para o caso especial em que o sólido S é de tipo I, isto é, dado por S= (x, y, z) in R^3: c(x, y) in D g1(x, y) <= z <= g2(x, y).
Dica: Procure nas principais referências da componente curricular.

Passo 1

Então, a gente tem uma questão sobre o Teorema da Divergência de Gauss, que é uma ferramenta importante em cálculo vetorial. O exercício pede para demonstrar esse teorema para um sólido do tipo I, que é definido por uma região no plano xy e duas funções que delimitam o sólido no eixo z. Para resolver, vamos precisar entender o que é o Teorema da Divergência, como ele se aplica a sólidos desse tipo, e usar integrais múltiplas para fazer a demonstração.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência de Gauss. Esse teorema relaciona o fluxo de um campo vetorial através da superfície fechada S de um sólido V com a integral tripla da divergência desse campo sobre o volume V. Em fórmula, é escrito como:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Isso significa que, para calcular o fluxo através da superfície, podemos integrar a divergência do campo dentro do volume, o que muitas vezes é mais fácil.

Passo 3

Agora, vamos considerar o sólido S do tipo I, que é definido pela região D no plano xy e pelas funções g1(x, y) e g2(x, y) que delimitam o sólido no eixo z. Ou seja:
S = (x, y, z) in R^3 : (x, y) in D, g1(x, y) <= z <= g2(x, y)
Esse tipo de sólido é útil porque facilita a configuração das integrais.

Passo 4

Vamos agora aplicar o Teorema da Divergência a esse sólido. Primeiro, calculamos a divergência do campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz):
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Em seguida, configuramos a integral tripla sobre o volume S:
integral triplaS nabla cdot F , dV = integralxmin^xmax integralymin^ymax integralg1(x,y)^g2(x,y) ( partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z ) dz , dy , dx
Esse passo organiza a integral de acordo com os limites do sólido tipo I.

Passo 5

Agora, vamos calcular o fluxo através das superfícies que compõem a fronteira de S. A fronteira tem três partes principais: a parte superior onde z = g2(x,y), a parte inferior onde z = g1(x,y), e as laterais que correspondem à fronteira de D.
Para cada parte, calculamos a integral de superfície:
  • Parte Superior ( z = g2(x,y)):
integral duplaz = g2 F cdot n , dS
  • Parte Inferior ( z = g1(x,y)):
integral duplaz = g1 F cdot n , dS
  • Partes Laterais (borda de D):
integral duplalaterais F cdot n , dS
A orientação das normais n é para fora do sólido.

Passo 6

Ao calcular essas integrais de superfície, observamos que as contribuições das partes superior e inferior, após integração, correspondem exatamente à integral tripla da divergência que calculamos anteriormente. As integrais das laterais, por sua vez, cancelam-se ou não contribuem para a divergência total, dependendo do campo F.
Portanto, ao somar todas as contribuições das superfícies, temos:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaS nabla cdot F , dV
Isso confirma que o Teorema da Divergência vale para o sólido tipo I.

Resposta

Demonstramos que, para um sólido do tipo I, o fluxo do campo vetorial F através da superfície fechada S é igual à integral tripla da divergência de F sobre o volume S. Assim, o Teorema da Divergência de Gauss é validado para esse caso especial.

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