Resolva os seguintes problemas de valores iniciais
y^prime prime+4 y=0, com y(0)=1 e y^prime(0)=0

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' + 4y = 0
com as condições iniciais:
y(0) = 1
y'(0) = 0
Nosso objetivo é encontrar a função y(t) que satisfaz essa equação e essas condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a equação diferencial é do tipo homogênea e linear de segunda ordem. A forma geral dessa equação é:
y'' + omega^2 y = 0
onde omega^2 = 4 , então omega = 2 .

Passo 3

A solução geral para essa equação diferencial é:
y(t) = A cos(omega t) + B sin(omega t)
Substituindo omega = 2 , ficamos com:
y(t) = A cos(2t) + B sin(2t)
Aqui, A e B são constantes que precisamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 4

Aplicamos a primeira condição inicial y(0) = 1 :
y(0) = A cos(0) + B sin(0)
1 = A cdot 1 + B cdot 0
A = 1
Então, já sabemos que A = 1 .

Passo 5

Agora, derivamos y(t) para encontrar y'(t) :
y'(t) = -2A sin(2t) + 2B cos(2t)
Aplicamos a segunda condição inicial y'(0) = 0 :
y'(0) = -2A sin(0) + 2B cos(0)
0 = -2 cdot 1 cdot 0 + 2B cdot 1
0 = 2B
B = 0

Resposta

Substituindo A = 1 e B = 0 na solução geral, temos:
y(t) = cos(2t)

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