Resolva os seguintes problemas de valores iniciais
e
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação e essas condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a equação diferencial é do tipo homogênea e linear de segunda ordem. A forma geral dessa equação é:
onde
, então
.
Passo 3
A solução geral para essa equação diferencial é:
Substituindo
, ficamos com:
Aqui,
e
são constantes que precisamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 4
Aplicamos a primeira condição inicial
:
Então, já sabemos que
.
Passo 5
Agora, derivamos
para encontrar
:
Aplicamos a segunda condição inicial
:
Resposta
Substituindo
e
na solução geral, temos: