Questão extra: (2 pontos) Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide
e acima da região delimitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado acima pelo paraboloide
e abaixo da região
no plano
delimitada pelas curvas
O conteúdo é integração dupla em coordenadas cartesianas. Vamos traçar a região, encontrar seus limites e montar a integral de volume.
Passo 2
Para achar os limites de
, resolvemos
Logo
varia de
a
. Em cada
,
vai da curva inferior
até a curva superior
.
Passo 3
O volume é dado por
Passo 4
Calcule a integral interna em
:
E
Portanto o integrando em
fica
Passo 5
Expanda e combine termos antes de integrar em
:
então o integrando total é
Integramos cada monômio de
a
.
Passo 6
Calcule cada termo:
Somando tudo: