Questão extra: (2 pontos) Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide z=9-x^{2}-y^{2} e acima da região delimitada pelas curvas y=x^{2} e y=\sqrt{x}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado acima pelo paraboloide
z = 9 - x^2 - y^2
e abaixo da região D no plano xy delimitada pelas curvas
y = x^2 \quad\text{e}\quad y = \sqrt{x}.
O conteúdo é integração dupla em coordenadas cartesianas. Vamos traçar a região, encontrar seus limites e montar a integral de volume.

Passo 2

Para achar os limites de D, resolvemos
x^2 = \sqrt{x} \;\Longrightarrow\; x^4 = x \;\Longrightarrow\; x(x^3 - 1)=0 \;\Longrightarrow\; x=0\text{ ou }x=1.
Logo x varia de 0 a 1. Em cada x, y vai da curva inferior y = x^2 até a curva superior y = \sqrt{x}.

Passo 3

O volume é dado por
V = \iint_{D} \bigl(9 - x^2 - y^2\bigr)\,dA = \int_{x=0}^{1}\!\int_{y=x^2}^{\sqrt{x}}\bigl(9 - x^2 - y^2\bigr)\,dy\,dx.

Passo 4

Calcule a integral interna em y:
\int_{y=x^2}^{\sqrt{x}}\bigl(9 - x^2 - y^2\bigr)\,dy = (9 - x^2)\bigl[\sqrt{x} - x^2\bigr] - \int_{x^2}^{\sqrt{x}}y^2\,dy.
E
\int_{x^2}^{\sqrt{x}}y^2\,dy = \frac{1}{3}\Bigl[(\sqrt{x})^3 - (x^2)^3\Bigr] = \frac{1}{3}\bigl[x\sqrt{x} - x^6\bigr].
Portanto o integrando em x fica
(9 - x^2)(x^{1/2} - x^2) - \frac{1}{3}\bigl(x^{3/2} - x^6\bigr).

Passo 5

Expanda e combine termos antes de integrar em x:
(9 - x^2)(x^{1/2} - x^2) =9x^{1/2}-9x^2 -x^{5/2}+x^4,
então o integrando total é
9x^{1/2} -\frac{1}{3}x^{3/2} -x^{5/2} -9x^2 +x^4 +\frac{1}{3}x^6.
Integramos cada monômio de 0 a 1.

Passo 6

Calcule cada termo:
\int_{0}^{1}9x^{1/2}dx = 9\cdot\frac{2}{3}=6, \quad \int_{0}^{1}-\tfrac{1}{3}x^{3/2}dx=-\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{2}{5}=-\tfrac{2}{15},
\int_{0}^{1}-x^{5/2}dx=-\tfrac{2}{7}, \quad \int_{0}^{1}-9x^2dx=-9\cdot\tfrac{1}{3}=-3,
\int_{0}^{1}x^4dx=\tfrac{1}{5}, \quad \int_{0}^{1}\tfrac{1}{3}x^6dx=\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{7}=\tfrac{1}{21}.
Somando tudo:
6 - \tfrac{2}{15} - \tfrac{2}{7} - 3 + \tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{21} = \frac{297}{105} = \frac{99}{35}.

Resposta

V = \frac{99}{35}.

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