Questão 3: ( 2,5 pontos) Determine o volume do sólido limitado acima pelo paraboloide z=10-x^{2}-y^{2}, abaixo pelo paraboloide z=x^{2}+y^{2} e lateralmente pelo cilindro x^{2}+y^{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado acima pelo paraboloide \,z=10 - x^{2} - y^{2}, abaixo pelo paraboloide \,z = x^{2} + y^{2} e lateralmente pelo cilindro \,x^{2} + y^{2} = 4. Vamos usar coordenadas cilíndricas e calcular
V = \iint_{D}\bigl(z_{\text{top}} - z_{\text{bot}}\bigr)\,dA,
onde D é o disco x^{2}+y^{2}\le4.

Passo 2

Para garantir que, sobre D, de fato z_{\text{top}}\ge z_{\text{bot}}, achamos a curva de interseção dos dois paraboloides:
10 - r^{2} = r^{2} \quad\Longrightarrow\quad r^{2}=5 \quad\Longrightarrow\quad r=\sqrt{5}>2.
Como \sqrt5>2, no disco de raio 2 vale sempre 10 - r^{2}>r^{2}.

Passo 3

Em coordenadas polares temos x^{2}+y^{2}=r^{2}, dA = r\,dr\,d\theta, e
V = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2}\bigl[(10 - r^{2}) - r^{2}\bigr]\,r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}(10r - 2r^{3})\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calculamos a integral em r:
\int_{0}^{2}(10r - 2r^{3})\,dr = \Bigl[5r^{2} - \tfrac12\,r^{4}\Bigr]_{0}^{2} = \bigl(5\cdot4 - \tfrac12\cdot16\bigr) = 20 - 8 =12.

Passo 5

Agora integramos em \theta:
V = \int_{0}^{2\pi}12\,d\theta = 12\cdot2\pi =24\pi.

Resposta

O volume do sólido é 24\pi.

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