Questão 3: ( 2,5 pontos) Determine o volume do sólido limitado acima pelo paraboloide
, abaixo pelo paraboloide
e lateralmente pelo cilindro
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado acima pelo paraboloide
, abaixo pelo paraboloide
e lateralmente pelo cilindro
. Vamos usar coordenadas cilíndricas e calcular
onde
é o disco
.
Passo 2
Para garantir que, sobre
, de fato
, achamos a curva de interseção dos dois paraboloides:
Como
, no disco de raio
vale sempre
.
Passo 3
Em coordenadas polares temos
,
, e
Passo 4
Calculamos a integral em
:
Passo 5
Agora integramos em
:
Resposta
O volume do sólido é
.