Questão 3 (3,0 pontos). Sejam as retas
r: x+y-4=0 e s: x=1-2 t, y=2-t
(b) [1,0 ponto] Ache a equação da reta paralela a reta r que passa no ponto P(1,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a equação de uma reta que é paralela à reta r e que passa pelo ponto P(1,2) . Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas paralelas e como encontrar a equação de uma reta usando um ponto e o coeficiente angular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa duas retas serem paralelas. Duas retas são paralelas se elas tiverem o mesmo coeficiente angular. O coeficiente angular determina a inclinação da reta.

Passo 3

Vamos achar o coeficiente angular da reta r . A equação da reta r é dada por:
r: x + y - 4 = 0
Vamos rearranjar essa equação para a forma y = mx + b , onde m é o coeficiente angular:
y = -x + 4
Então, o coeficiente angular m da reta r é -1 .

Passo 4

Como a reta que queremos encontrar é paralela à reta r , ela também terá o mesmo coeficiente angular m = -1 . Agora, usamos o ponto P(1,2) para encontrar a equação da nova reta. Vamos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
y - y1 = m(x - x1)
Onde (x1, y1) é o ponto pelo qual a reta passa.

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
y - 2 = -1(x - 1)
Distribuindo o -1 :
y - 2 = -x + 1
Agora, isolamos o y :
y = -x + 1 + 2
y = -x + 3

Resposta

A equação da reta paralela a r que passa pelo ponto P(1,2) é:
y = -x + 3

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