Questão 1 (Valor: 2,5) Considere as matrizes A=\left(a_{i j}\right)_{2 \times 2}\), tal que \(a_{i j}= \begin{cases}2^{i} & \text { se } i \neq j \\\\ 3 i & \text { se } i=j\end{cases} e B=\left[\begin{array}{ll}x & 2 \\\\ 1 & y\end{array}\right], x e y reais. Verifique cada uma das sentenças, concluindo se é verdadeira ou falsa.
  1. Se A \cdot B=\left[\begin{array}{cc}5 & 4 \\\\ 10 & 2\end{array}\right], então x+y=0.
  2. Se x=0 e y=-3 então A+B=\left[\begin{array}{ll}3 & 4 \\\\ 4 & 3\end{array}\right]
  3. A matriz inversa de A é \left[\begin{array}{cc}\frac{3}{5} & -\frac{1}{5} \\\\ -\frac{2}{5} & \frac{3}{10}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado define a matriz A=(a_{ij})_{2\times2}\) com \[a_{ij} = \begin{cases} 2^i, & i\neq j,\\\\ 3i, & i=j, \end{cases}
e a matriz B=\begin{bmatrix}x&2\\\ 1&y\end{bmatrix}\]. Vamos primeiro escrever \(A explicitamente:
Para i=1:
a_{11}=3\cdot1=3,\quad a_{12}=2^1=2.
Para i=2:
a_{21}=2^2=4,\quad a_{22}=3\cdot2=6.
Logo,
A=\begin{bmatrix}3&2\\\ 4&6\end{bmatrix}.

Passo 2

Verificação da sentença 1: “Se A\cdot B=\begin{bmatrix}5&4\\\ 10&2\end{bmatrix}, então x+y=0.”
Calculemos
A\,B =\begin{bmatrix}3&2\\\ 4&6\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x&2\\\ 1&y\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}3x+2&6+2y\\\ 4x+6&8+6y\end{bmatrix}.
Igualando a \begin{bmatrix}5&4\\\ 10&2\end{bmatrix} obtemos o sistema
3x+2=5,\quad6+2y=4,\quad4x+6=10,\quad8+6y=2.
Dessas equações surge x=1 e y=-1. Logo x+y=1+(-1)=0. A sentença 1 é verdadeira.

Passo 3

Verificação da sentença 2: “Se x=0 e y=-3 então A+B=\begin{bmatrix}3&4\\\ 4&3\end{bmatrix}.”
Com A=\begin{bmatrix}3&2\\\ 4&6\end{bmatrix} e B=\begin{bmatrix}0&2\\\ 1&-3\end{bmatrix},
A+B =\begin{bmatrix}3+0&2+2\\\ 4+1&6+(-3)\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}3&4\\\ 5&3\end{bmatrix}.
Isso não coincide com \begin{bmatrix}3&4\\\ 4&3\end{bmatrix}. A sentença 2 é falsa.

Passo 4

Verificação da sentença 3: “A matriz inversa de A é \begin{bmatrix}\tfrac{3}{5}&-\tfrac{1}{5}\\\ -\tfrac{2}{5}&\tfrac{3}{10}\end{bmatrix}.”
O determinante de A vale
\det(A)=3\cdot6-2\cdot4=18-8=10.
Logo
A^{-1}=\frac{1}{10}\begin{bmatrix}6&-2\\\ -4&3\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}6/10&-2/10\\\ -4/10&3/10\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\tfrac{3}{5}&-\tfrac{1}{5}\\\ -\tfrac{2}{5}&\tfrac{3}{10}\end{bmatrix}.
A sentença 3 é verdadeira.

Resposta

  1. Verdadeira
  2. Falsa
  3. Verdadeira

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