Questão 5. (Extremos Locais)
Encontre os extremos locais das funções abaixo. (Fique a vontade para aplicar o teste da primeira ou da segunda derivada.)
f(x)=\frac{x+3}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos locais de
f(x)=\frac{x+3}{x-2}
usando o teste da primeira ou da segunda derivada. A função está definida em \mathbb{R}\setminus\{2\}, pois em x=2 temos divisão por zero. Vamos calcular a derivada primeira e estudar seus zeros e seu sinal.

Passo 2

Usando a regra do quociente,
f'(x) =\frac{(x-2)\cdot\frac{d}{dx}(x+3)-(x+3)\cdot\frac{d}{dx}(x-2)}{(x-2)^2} =\frac{(x-2)\cdot1-(x+3)\cdot1}{(x-2)^2} =\frac{-5}{(x-2)^2}.

Passo 3

Observamos que \frac{-5}{(x-2)^2}<0 para todo x\neq2. Logo,
  1. Não existe solução de f'(x)=0 no domínio.
  2. Em cada intervalo (-\infty,2) e (2,\infty), f'(x) é sempre negativo, mostrando que f é estritamente decrescente nesses intervalos.
  3. O ponto x=2 não pertence ao domínio, logo não pode ser extremo.

Resposta

Não há extremos locais para f(x)=\dfrac{x+3}{x-2}.

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