Questão 5. (Extremos Locais)
Encontre os extremos locais das funções abaixo. (Fique a vontade para aplicar o teste da primeira ou da segunda derivada.)
f(x)=\ln \left(2+x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos locais de
f(x)=\ln\bigl(2+x^{2}\bigr).
O conteúdo de matéria envolvido é cálculo de derivadas e aplicação do teste da primeira e/ou segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, calculamos a primeira derivada. Note que o domínio de f é todo \mathbb{R}. Usando regra da cadeia e derivada de \ln(u):
f'(x)=\frac{1}{2+x^{2}}\cdot(2x)=\frac{2x}{2+x^{2}}.

Passo 3

Para achar pontos críticos, resolvemos
f'(x)=0\quad\Longrightarrow\quad \frac{2x}{2+x^{2}}=0.
Como o denominador nunca é zero, basta 2x=0, ou seja
x=0.

Passo 4

Agora fazemos o teste da segunda derivada para classificar o ponto x=0. Derivando f'(x) por quociente:
f''(x) =\frac{(2)(2+x^{2})-2x\cdot(2x)}{(2+x^{2})^{2}} =\frac{4+2x^{2}-4x^{2}}{(2+x^{2})^{2}} =\frac{2(2-x^{2})}{(2+x^{2})^{2}}.
Em x=0 temos
f''(0)=\frac{2(2-0)}{(2+0)^{2}}=\frac{4}{4}=1>0,
portanto f tem um mínimo local em x=0.

Resposta

A função tem um único extremo local:
mínimo em x=0 com valor f(0)=\ln2. Não existem máximos locais.

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