Questão 5. (Extremos Locais)
Encontre os extremos locais das funções abaixo. (Fique a vontade para aplicar o teste da primeira ou da segunda derivada.)
Encontre os extremos locais das funções abaixo. (Fique a vontade para aplicar o teste da primeira ou da segunda derivada.)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos locais de
.
O conteúdo de matéria envolvido é cálculo de derivadas e aplicação do teste da primeira e/ou segunda derivada.
O conteúdo de matéria envolvido é cálculo de derivadas e aplicação do teste da primeira e/ou segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, calculamos a primeira derivada. Note que o domínio de
é todo
. Usando regra da cadeia e derivada de
:
Passo 3
Para achar pontos críticos, resolvemos
Como o denominador nunca é zero, basta
, ou seja
Passo 4
Agora fazemos o teste da segunda derivada para classificar o ponto
. Derivando
por quociente:
Em
temos
portanto
tem um mínimo local em
.
Resposta
A função tem um único extremo local:
mínimo em com valor
. Não existem máximos locais.
mínimo em