Questão 9. (Máximos e Mínimos absolutos - outros intervalos)
Encontre os valores de máximo e mínimo absolutos de f, se houver, nos intervalos dados e indique onde ocorrem esses valores.
f(x)=(x 2-2 x)^{2} ; \quad(-\infty,+\infty)

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos de
f(x) = (x^{2} - 2x)^{2}
no domínio (-\infty,\infty). Para resolver, vamos usar derivadas para encontrar os pontos críticos e depois comparar valores para identificar mínimos e máximos absolutos.

Passo 2

Calculemos a derivada de f. Usando regra da cadeia e produto:
f'(x) = 2\bigl(x^{2}-2x\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-2x\bigr) = 2\bigl(x^{2}-2x\bigr)\,(2x-2) =4\,(x^{2}-2x)\,(x-1).

Passo 3

Encontramos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
4\,(x^{2}-2x)\,(x-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-2x=0\;\text{ou}\;x-1=0
x(x-2)=0\;\Longrightarrow\;x=0\;\text{ou}\;x=2, \quad x-1=0\;\Longrightarrow\;x=1.

Passo 4

Avaliamos f nos pontos críticos:
f(0) = (0^{2}-2\cdot0)^{2}=0, \quad f(1) = (1^{2}-2\cdot1)^{2}=(-1)^{2}=1, \quad f(2) = (2^{2}-2\cdot2)^{2}=(0)^{2}=0.

Passo 5

Analisando o comportamento em infinito, para \lvert x\rvert\to\infty tem-se
f(x)\sim(x^{2})^{2}=x^{4}\to+\infty,
logo não há valor máximo finito, pois f é não limitado acima.

Resposta

O menor valor de f é 0, ocorrendo em x=0 e x=2.
Não existe máximo absoluto, pois f(x)\to+\infty quando \lvert x\rvert\to\infty.

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