Questão 9. (Máximos e Mínimos absolutos - outros intervalos)
Encontre os valores de máximo e mínimo absolutos de f, se houver, nos intervalos dados e indique onde ocorrem esses valores.
f(x)=\frac{2 x^{2}-3 x+3}{x^{2}-2 x+2} ;[1,+\infty)

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos de
f(x) = \frac{2x^{2}-3x+3}{x^{2}-2x+2}
no intervalo [1,+\infty). Vamos usar o cálculo de derivada para achar candidatos a extremos (pontos críticos e fronteira), depois comparar valores de f.

Passo 2

Calculamos a derivada de f via quociente. Seja
u(x)=2x^{2}-3x+3, \quad v(x)=x^{2}-2x+2.
Então
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{(4x-3)(x^{2}-2x+2)-(2x^{2}-3x+3)(2x-2)}{(x^{2}-2x+2)^{2}}.
Desenvolvendo o numerador, obtém-se
f'(x)=\frac{x(2-x)}{(x^{2}-2x+2)^{2}}.

Passo 3

Os zeros de f'(x) são x=0 e x=2, mas em [1,+\infty) só interessa x=2. Avaliamos também a fronteira x=1 e o comportamento em +\infty:
f(1)=\frac{2-3+3}{1-2+2}=2, \quad f(2)=\frac{8-6+3}{4-4+2}=\frac{5}{2}=2{,}5, \quad \lim_{x\to\infty}f(x)=\frac{2}{1}=2.
O sinal de f'(x) mostra que f cresce em [1,2] e decresce em [2,+\infty).

Passo 4

Comparando valores, vemos que o menor valor de f em [1,+\infty) é 2 e ocorre em x=1, e o maior é 2{,}5 e ocorre em x=2.

Resposta

O mínimo absoluto é f(1)=2 em x=1.
O máximo absoluto é f(2)=2{,}5 em x=2.

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