Questão 3. Seja
(a) Calcule a derivada lateral direita em
\mathrm{x}=0 \
? Just ifique.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) Calcular a derivada lateral direita em
. - (b) Verificar se existe a derivada lateral esquerda em
e justificar.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função
está definida apenas para (essa informação vem do próprio fato de estarmos tomando a raiz quadrada real). - Para calcular derivadas laterais usamos limites de quociente incremental aproximando a partir da direita (para derivada lateral direita) ou da esquerda (para derivada lateral esquerda).
Passo 2
Vou lembrar qual é a definição prática de derivada lateral (a ideia que vamos usar na prova).
- A derivada lateral direita de
em é o limite
Aqui
significa que
vai para
com valores positivos (apróximação pela direita).
- A derivada lateral esquerda de
em seria
onde
significa que
é negativo (apróximação pela esquerda).
Observação importante: para que uma derivada lateral exista, os valores de
devem estar definidos para
próximos de
do lado considerado (ou seja, para
no caso direito e para
no caso esquerdo).
Passo 3
Calculo da derivada lateral direita usando a definição direta. Primeiro avaliamos
:
Agora aplicamos a definição:
Simplifico a fração: para
temos
, então
Portanto
Quando
,
, e
. Logo o limite diverge para infinito positivo:
Dica alternativa (útil na prova): calcular a derivada para
e depois tomar o limite quando
. Para
podemos usar o truque de racionalizar:
Então
o que confirma o resultado anterior.
Passo 4
Interpretação do resultado do passo anterior: o limite do quociente incremental quando vindo pela direita diverge para
. Em termos intuitivos, a reta tangente em
seria “vertical” — a derivada não é um número real finito, tem crescimento sem limite. Dependendo da convenção, dizemos que:
- A derivada lateral direita existe no sentido estendido e vale
. - Mas a derivada como número real (finito) em
não existe (porque não é um valor real finito).
Passo 5
Análise da derivada lateral esquerda em
. Pela definição:
Para
pequeno,
é um número negativo. Mas a função
não está definida para
(não existe raiz quadrada real de número negativo). Portanto
não existe para
próximos de
. Logo a expressão do quociente incremental não está nem sequer definida para esses
, e o limite para
não pode ser formado. Por isso a derivada lateral esquerda simplesmente não existe.
Passo 6
Recapitulando com tom de amigo: a “derivada pela direita” explode para
— pensa como uma rampa que fica cada vez mais íngreme perto de zero — e pelo lado esquerdo não dá nem pra calcular porque a função não existe lá. Vai tranquilo, esse tipo de conclusão é bem comum em provas.
Resposta
(a)
(b) Não existe derivada lateral esquerda em
(a função não está definida para
).