Questão 3. Seja
f(x)=\sqrt{x} .
(a) Calcule a derivada lateral direita em \ \mathrm{x}=0 \
. (b) Existe derivada lateral esquerda em \(\\) x=0 \
? Just ifique.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\sqrt{x}
e pede duas coisas:
  • (a) Calcular a derivada lateral direita em \;x=0\;.
  • (b) Verificar se existe a derivada lateral esquerda em \;x=0\; e justificar.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função \;f(x)=\sqrt{x}\; está definida apenas para \;x\ge 0\; (essa informação vem do próprio fato de estarmos tomando a raiz quadrada real).
  • Para calcular derivadas laterais usamos limites de quociente incremental aproximando a partir da direita (para derivada lateral direita) ou da esquerda (para derivada lateral esquerda).

Passo 2

Vou lembrar qual é a definição prática de derivada lateral (a ideia que vamos usar na prova).
  • A derivada lateral direita de f em x=0 é o limite
f'_+(0)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}.
Aqui h\to0^+ significa que h vai para 0 com valores positivos (apróximação pela direita).
  • A derivada lateral esquerda de f em x=0 seria
f'_-(0)=\lim_{h\to0^-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h},
onde h\to0^- significa que h é negativo (apróximação pela esquerda).
Observação importante: para que uma derivada lateral exista, os valores de f(0+h) devem estar definidos para h próximos de 0 do lado considerado (ou seja, para h>0 no caso direito e para h<0 no caso esquerdo).

Passo 3

Calculo da derivada lateral direita usando a definição direta. Primeiro avaliamos f(0):
f(0)=\sqrt{0}=0.
Agora aplicamos a definição:
f'_+(0)=\lim_{h\to0^+}\frac{\sqrt{0+h}-\sqrt{0}}{h} =\lim_{h\to0^+}\frac{\sqrt{h}}{h}.
Simplifico a fração: para h>0 temos \sqrt{h}>0, então
\frac{\sqrt{h}}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}}.
Portanto
f'_+(0)=\lim_{h\to0^+}\frac{1}{\sqrt{h}}.
Quando h\to0^+, \sqrt{h}\to0^+, e 1/\sqrt{h}\to +\infty. Logo o limite diverge para infinito positivo:
f'_+(0)=+\infty.
Dica alternativa (útil na prova): calcular a derivada para x>0 e depois tomar o limite quando x\to0^+. Para x>0 podemos usar o truque de racionalizar:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} =\lim_{h\to0}\frac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} =\lim_{h\to0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Então
\lim_{x\to0^+}f'(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{1}{2\sqrt{x}}=+\infty,
o que confirma o resultado anterior.

Passo 4

Interpretação do resultado do passo anterior: o limite do quociente incremental quando vindo pela direita diverge para +\infty. Em termos intuitivos, a reta tangente em x=0 seria “vertical” — a derivada não é um número real finito, tem crescimento sem limite. Dependendo da convenção, dizemos que:
  • A derivada lateral direita existe no sentido estendido e vale +\infty.
  • Mas a derivada como número real (finito) em x=0 não existe (porque não é um valor real finito).

Passo 5

Análise da derivada lateral esquerda em x=0. Pela definição:
f'_-(0)=\lim_{h\to0^-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}.
Para h<0 pequeno, 0+h é um número negativo. Mas a função \;f(x)=\sqrt{x}\; não está definida para \;x<0\; (não existe raiz quadrada real de número negativo). Portanto f(0+h) não existe para h<0 próximos de 0. Logo a expressão do quociente incremental não está nem sequer definida para esses h, e o limite para h\to0^- não pode ser formado. Por isso a derivada lateral esquerda simplesmente não existe.

Passo 6

Recapitulando com tom de amigo: a “derivada pela direita” explode para +\infty — pensa como uma rampa que fica cada vez mais íngreme perto de zero — e pelo lado esquerdo não dá nem pra calcular porque a função não existe lá. Vai tranquilo, esse tipo de conclusão é bem comum em provas.

Resposta

(a) \displaystyle f'_+(0)=+\infty.
(b) Não existe derivada lateral esquerda em \;x=0\; (a função não está definida para \;x<0\;).

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